数列(暑假高一升高二).docVIP

数列 一、数列的概念： 数列的定义； 数列与函数关系； 数列的通项公式；递推关系式；数列的分类。 如（1）已知，则在数列的最大项为__（答：）； （2）数列的通项为，则与的大小关系为___（答：）； （3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围 （答：）； 数列的前n项和： . 已知求的方法（只有一种）：即利用公式 = 注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式，从而决定能否将其合并。 二.等差数列的有关概念： 1等差数列的定义： （.(或). （1） 等差数列的判断方法： ①定义法：为等差数列。 ② 中项法： 为等差数列。 ③通项公式法：（a,b为常数）为等差数列。 ④前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列。 （2）等差数列的通项：或。公式变形为:. 其中a=d, b= －d. 如 等差数列中，，，则通项　　　　（答：）； （3）等差数列的前和：，。公式变形为：， 其中 . 如(1)数列 中，，，前n项和， 则＝＿，＝＿ (答：，）； (2) 已知数列 的前n项和，求数列的前项和 （答：）. （4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 2.等差数列的性质： （1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 （3）若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和. 当时,则有，特别地，当时，则有. 如 等差数列中，，则＝____（答：27）； (4) 若项数成等差,则相应的项也成等差数列.即成等差. 若、是等差数列，则、 (、是非零常数). ，…也成等差数列； 若是等比数列，且，则是等差数列. 如(1)等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225） （2）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）； （5）单调性：设d为等差数列的公差，则 d0是递增数列；d0是递减数列；d=0是常数数列 (6) 已知成等差数列，求的最值问题： ①若,d0且满足,则最大； ②若,d0且满足,则最小. 法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）； 法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。 上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和 最大，最大值为169）； （2）若是等差数列，首项， ，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006） 三.等比数列的有关概念 1. 等比数列定义： （ （或 （1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。 如 数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列。 （2）等比数列的通项：或。 (3)等比数列的前和：当时，；当时，。 如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比（答：， 或2） （4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=. 2.等比数列的性质： （1）对称性：若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当 时，则有，特别地，当时，则有. 如（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）； （2）各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。 (2) 若是等比数列，则、成等比数列； 若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且各项均为正数，则成等差数列。 (3) 当时，，这里，但，这是等比数列前项和 公 式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且， 则 ＝ （答：－1） 三.数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通 项 公式：__________（答：） ⑵已知（即）求，用作差法：。