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一阶惯性加纯滞后过程的分数阶PID的脆弱性 摘要 本文对在一阶惯性加纯滞后模型采用的分数阶PID控制器进行了分析。尤其是对控制器参数对已获得控制系统的鲁棒性和性能的影响的研究。结果表明，这种控制器跟标准PID控制器比起来更加脆弱，因此用户在整定的时候需要格外的慎重。 关键词：分数阶控制器，PID控制，整定，脆弱性 1 引言 众所周知，一个合理的控制系统必须同时兼顾性能和鲁棒性。然而，也应该认识到另外很重要的一点那就是控制器参数变化对脆弱性的影响，也就是说，控制器参数改变会影响控制系统的鲁棒性和性能的敏感程度。 这个问题已经在其他文章中提及（见，例,[1]）,尤其在[2]强调基于的最小化设计技术，和规范服从于高阶的健壮性（yield to high-order robust），最优的但极其脆弱的控制器，换言之，控制器系数非常小的变化会导致不稳定的系统。然而，在[3,4]中指出，这个问题可以通过采用合适的控制器参数来解决。 就如在工业界使用最广的整数阶PID，这类控制器的脆弱性已经被解决。其中，为了是控制器参数向量在给定的范围内的稳定域最大化，作者建议调整整数阶PID控制器的参数。然而典型的工业性能的测量（关系到对设定值的跟踪和对负载干扰的抑制任务）并不考虑。并且，在图[7]中显示，这种办法已经被应用到一阶惯性加纯滞后模型，产生了与采用Ziegler-Nichols阶跃响应方法相似的调谐，从各方面看都是有改善的。 因此，在文献中已被公认，研究整数阶PID的一个主要原因就是让使用者明白怎样调整好控制器[10,11,12]。换句话说，整数阶PID的参数有明确的物理含义，操作者可以通过修改它们来改变控制系统的性能。在文中，当参数微调对评估鲁棒性和性能的敏感性很有用。为此，引入了一个叫做脆弱性环的图形化工具，它可以对评估控制器的鲁棒性/脆弱性提供了一种可视化帮助。 近年来，一些学术和工业界团体对分数阶PID控制器很感兴趣，因为他们在控制系统设计中能够更灵活（仅有5个参数需要整定）（见，例[14]-[17]）。许多不同的整定规则也在文中提及，以方便使用他们（见，例。[18]-[23]）。本文中，采用分数阶PID使一个（可能是分数阶）动态系统稳定的问题已经在文献中解决（见，例，[224,25,26]）对这种控制器的，现在才开始进行部分研究。尤其在[27,28]中，分数阶PID控制器的整定需要考虑在参数空间的容许区域内，所以会得到一个不脆弱的控制器的结果。然而，评估控制器脆弱性的主要目的之一就是评估鲁棒性/性能 对参数调整到额敏感性。 其实，为了促进分数阶PID控制器在工业设备上的使用，另外，也应当建立良好的整定规则和调整控制器参数的明确指导准则，以使操作者对他们有信心。因此，本文的目的就是提供一种分数阶PID控制器的脆弱性分析，和整数阶PID作比较，以明白他们的不同之处，应当考虑从给定的调整开始参数的调整。（should be taken into account in the adjustment of the parameters starting from a given tuning）。为此，在[23,29]中讲到的整定规则，就是为了使综合绝对误差最小，取决于最大灵敏度，这适用于分数阶PID和整数阶PID。它们对设定值的跟踪和负载干扰的抑制任务的整定规则都考虑到了。它们也有很重要的特性因为可以在时间单元改变时控制动作不变。这些整定规则，适用于涉及鲁棒性和性能的脆弱性分析时。需要强调的是，计算所得的脆弱性取决于控制系统的标称参数，同时为了获得客观的比较，我们选取了解决最优问题的整定规则，所以可能增加了调整分数阶PID控制器参数的难度，至于整数阶PID，从一种给定的已明确解决的正定规则开始。 通过同时更改所有参数或者只改变其中一个保持其他参数不变来估计脆弱性。后一种方法是为了研究究竟哪个参数对控制器的脆弱性影响更大。 本文组织如下。用来评估脆弱性的基本定义在第二部分中会有回顾，还有整数阶PID和分数阶PID控制器的整定规则。与鲁棒性有关的脆弱性分析在第三部分中介绍，与性能有关的脆弱性分析在第四部分中介绍，第五部分进行相关讨论，第六部分得出结论。 2脆弱性指数 脆弱性符号在[10,11,12]中介绍，为了阐明和介绍结果中用到的符号，这部分有简单回顾。 单位反馈控制系统（见图1），过程（假定是自动控制的）用P表示，控制器用C表示。本文中控制器是分数阶PID控制器，既可以串联形式描述 也可以用并联形式 在两种表达方式中，是比例增益，是积分时间常数，是微分时间常数，λ和μ是相互独立的积分和微分的非整数阶。 注意两种形式都很重要，因为不太可能将二者进行相互转换，除非和[29]。为了执行分数阶PID控制器，著名的Oustalou