第十六课圆锥曲线综合问题椭圆.docVIP

第十六课 椭圆综合问题 定 义 平面内到两个定点的距离之和等于定长（）的点的轨迹 椭圆的定义用点集语言叙述：①点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}； 平面内到定点与到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹 椭圆的定义用点集语言叙述：②点集M={P| ，0＜e＜1的常数｝：（）； 椭圆： 　　　（）； 两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。 图 形 几 何 性 质 焦点坐标 ， ， 顶点 ，； ，； ，； ，； 范围 ≤，≤； ≤，≤； 　对称性 关于轴均对称，关于原点中心对称； 　离心率 的关系 【例题讲解】 题型一、求椭圆的标准方程 例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于； （2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点； （3）焦距为6，； （4）椭圆经过两点，。 例2、（1）与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为______________． （2）已知椭圆的焦点为（-1，0）和（1，0），P是椭圆上的一点，且是 与的等差中项，则该椭圆的方程为r，动圆圆心P为(x，y)，根据已知条件得 | PC1|＝1＋r，|PC2|＝9－r，则|PC1|＋|PC2|＝10. ∴P点的轨迹为以C1(－3,0)、C2(3,0)为焦点，长轴长2a＝10的椭圆，则a＝5，c＝3，∴b2＝16，所求椭圆的方程为 用定义得 题型二、椭圆的几何性质的应用 例3、（1）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ） A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 解：不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故选A。 （2）如图，A、B、C分别为椭圆（ab0）的顶点和焦点，若∠ABC=900，则该椭圆的离心率为 题型三、直线与椭圆的综合应用 例4．设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求四边形面积的最大值． （Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为， 直线的方程分别为，． 如图，设，其中， 且满足方程， 故．① 由知，得； 由在上知，得． 所以， 化简得，解得或． （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为， ． 又，所以四边形的面积为 ， 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 解法二：由题设，，． 设，，由①得，， 故四边形的面积为 ， 当时，上式取等号．所以的最大值为． 例5、已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且. (1)求椭圆的方程; (2)已知点和圆:,过点的动 直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点 ,满足:,,(且). 求证:点总在某定直线上. .解:(1)由知,设,因在抛物线上, 故…① 又,则……②, 由①②解得,.而点椭圆上,故有即…③, 又,则…④ 由③④可解得,,∴椭圆的方程为. (2)设,, 由可得:,即 由可得:,即 ⑤⑦得: ⑥⑧得: 两式相加得 又点在圆上,且,所以, 即,∴点总在定直线上. 恒之教育网 欢迎使用恒之讲义 恒之教育网 ★精品讲义★免费教学视频★ 经典试题★ D F B y x A O E x y O F1 · · F2 M