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课时作业12　函数与方程 时间：45分钟　分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：解法1：令f(x)＝0，得或 所以x＝－3或x＝e2，应选B. 解法2：画出函数f(x)的图象可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点． 答案：B 2．函数f(x)＝3x＋5x的零点所在的区间是(　　) A. B. C. D. 解析：注意到f(0)＝10，f＝－10， 答案：D 3．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：sgn(lnx)＝故函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零点有3个，分别为e,1，. 答案：C 4．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点(　　) A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1 C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1 解析：由已知可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，e－x0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点． 答案：C 5．已知函数f(x)＝若x0是y＝f(x)的零点，且0tx0，则f(t)(　　) A．恒小于0 B．恒大于0 C．等于0 D．不大于0 解析：当x0时，由f(x)＝()x－log2x＝0得()x＝log2x，在同一坐标系中分别作出y＝()x，y＝log2x的图象，由图象可知，当0tx0时，()tlog2t，所以此时f(t)恒大于0，选B. 答案：B 6．规定记号“W”表示一种运算，即：aWb＝a2＋2ab－b2，设函数f(x)＝xW2，且关于x的方程为g(x)＝lg|x＋2|(x≠－2)恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值是(　　) A．－4 B．4 C．8 D．－8 解析：由题意知f(x)＝x2＋4x－4，关于x＝－2对称，g(x)＝lg|x＋2|也关于x＝－2对称，故f(x)与g(x)的交点也关于x＝－ 2对称，设x1x2x3x4，得x1＋x4＝－4，x2＋x3＝－4故x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 答案：D 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________． 解析：由于f(1)＝－10，f＝ln－0，f(2)＝ln20，所以下一个含根区间为. 答案：[，2] 8．函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系内，画出y1＝|x|和y2＝m的图象，如下图所示，由于函数有两个零点，故0m1. 答案：(0,1) 9．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0,2 013]上的零点个数是________． 解析：由f(x)＋f(x＋5)＝16，可知f(x－5)＋f(x)＝16，则f(x＋5)－f(x－5)＝0，所以f(x)是以10为周期的周期函数．在一个周期(－1,9]上，函数f(x)＝x2－2x在x(－1,4]区间内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f(x)在一个周期上仅有3个零点，由于区间(3,2 013)中包含201个周期，又x[0,3]时也存在一个零点x＝2，故f(x)在[0，2 013]上的零点个数为3×201＋1＝604. 答案：604 三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 10．(15分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋. 证明：存在x0，使f(x0)＝x0. 证明：令g(x)＝f(x)－x. g(0)＝，g＝f－＝－，g(0)·g0，又函数g(x)在上连续， 存在x0，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0. 11．(20分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c. (1)若abc，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点； (2)若对x1，x2R且x1x2，f(x1)≠f(x2)，证明方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]必有一实根属于(x1，x2)． 解：(1)证明：由f(1)＝0有a＋b＋c＝0 而abc，所以有a0且c0 设f(x)＝0，则Δ＝b2－4ac0， f(x)必有两个零点． (2)解：设F(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)] 则F(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)] ＝[f(x1)－f(x2)] F(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x2)－f(x1)] F(x1)·F(x2)＝－[f(x1