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课时作业23　正弦定理和余弦定理 时间：45分钟　分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．在ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“ab”是使“cosAcosB”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：abAB?cosAcosB. 答案：C 2．(2013·北京卷)在ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝(　　) A. B. C. D．1 解析：由正弦定理，得＝，sinB＝＝. 答案：B 3．(2013·辽宁卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且ab，则B＝(　　) A. B. C. D. 解析：asinBcosC＋csinBcosA＝sinB(acosC＋ccosA)＝bsinB＝b，则sinB＝，又ab，则AB，B为锐角，所以B＝. 答案：A 4．(2013·山东卷)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　) A．2 B．2 C. D．1 解析：由正弦定理可得＝＝＝2cosA＝，得cosA＝，又0Aπ，A＝，则B＝，C＝，c＝＝2，选B. 答案：B 5．(2013·新课标卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则ABC的面积为(　　) A．2＋2 B.＋1 C．2－2 D.－1 解析：由正弦定理知，＝，c＝＝2， 又A＝π－(B＋C)＝π－(＋)＝π， sinA＝， S△ABC＝bcsinA＝×2×2×＝＋1. 答案：B 6．在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为(　　) A. B. C. D．－ 解析：因为cosC＝＝＝， 又因为a2＋b2＝2c2≥2ab，所以c2≥ab. 所以cosC＝≥＝， 当且仅当a＝b时等号成立． 答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．在ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________. 解析：由余弦定理得，cosB＝ ＝＝－，解得b＝4. 答案：4 8．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________. 解析：由已知条件可得sinA＝，sinB＝，而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，根据正弦定理＝得c＝. 答案： 9．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a＝2csinA，c＝，ABC的面积为，则a＋b＝________. 解析：由a＝2csinA及正弦定理得＝＝，sinA≠0，sinC＝.ABC是锐角三角形，C＝，S△ABC＝ab·sin＝，即ab＝6， c＝，由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7，解得(a＋b)2＝25，a＋b＝5. 答案：5 三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 10．(15分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB. (1)求B； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝，因此B＝45°. (2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.故a＝b×＝＝1＋，c＝b×＝2×＝. 11．(20分)(2013·江西卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列； (2)若C＝，求的值． 解：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B. 因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以＝. ——创新应用—— 12．(20分)(2013·福建卷)如图，在等腰直角OPQ中，POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上． (1)若OM＝，求PM的长； (2)若点N在线段MQ上，且MON＝30°，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面 积的最小值． 解：(1)在OMP中，OPM＝45°，OM＝，OP＝2， 由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2×OP×MP×cos45°， 得MP2－4MP＋3＝0，解得MP＝1或MP＝3. (2)设POM＝α，0°≤α≤60°， 在OMP