红对勾文科数学课时作业32.docVIP

课时作业32　数列求和与数列的综合应用 时间：45分钟　分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝(　　) A. B. C. D. 解析：数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，Sn＝＝. 答案：D 2．数列{an}的通项公式为an＝，已知它的前n项和Sn＝6，则项数n等于(　　) A．6 B．7 C．48 D．49 解析：将通项公式变形得：an＝＝＝－，则Sn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，由Sn＝6，则有－1＝6，n＝48. 答案：C 3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2＋3，a3＝4＋5＋6，a4＝7＋8＋9＋10，…，则a10的值为(　　) A．750 B．610 C．510 D．505 解析：a10＝46＋47＋…＋55＝505. 答案：D 4．数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1，公比为的等比数列，则an等于(　　) A.(1－) B.(1－) C.(1－) D.(1－) 解析：由题得an－an－1＝()n－1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝()n－1＋()n－2＋…＋＋1＝(1－)． 答案：A 5．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，nN*记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 013＝(　　) A.－1 B.－1 C.－1 D.＋1 解析：由题得4a＝2，得a＝，即f(x)＝x.所以an＝＝＝－，S2 013＝a1＋a2＋…＋a2 013＝－1＋－＋…＋－＝－1，选C. 答案：C 6．已知一个数列{an}的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第(k＋1)个1之间有(2k－1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1…，则前2012项中1的个数为(　　) A．44 B．45 C．46 D．47 解析：依题意得，第k个1和它后面(2k－1)个2的个数之和为2k，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n项和等于＝n(n＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中共有45个1，选B. 答案：B 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn·Sn＋1＝，则n的值为________． 解析：Sn＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝1－＝， Sn·Sn＋1＝·＝＝，解得n＝6. 答案：6 8．已知f(x)＝，求f＋f＋…＋f＝________. 解析：因为f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝1. 所以f＋f＝f＋f ＝…＝f＋f＝1. f＋f＋…＋f＝5. 答案：5 9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)…，则第57个数对是________． 解析：可以将数对分组如下：(1,1)；(1,2)，(2,1)；(1,3)，(2,2)，(3,1)；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；(1,5)，(2,4)，…，第n组有n个数对，且数对中两数和为n＋1.因为1＋2＋3＋…＋10＝55，所以第57个数对为(2,10)． 答案：(2,10) 三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 10．(15分)(2013·陕西卷)设Sn表示数列{an}的前n项和． (1)若{an}是等差数列，推导Sn的计算公式； (2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论． 解：(1)解法1：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d] 又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]， 2Sn＝n(a1＋an)，Sn＝. 解法2：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]， 又Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1， 2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d， Sn＝na1＋d. (2){an}是等比数列．证明如下： Sn＝， an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝qn. a1＝1，q≠0，当n≥1时，有＝＝q， 因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列． 11．(20分)(2013·广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，nN*，