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课时作业41　空间点、直线、平面之间的位置关系 时间：45分钟　分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点． 答案：A 2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、异面或相交 解析：经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D. 答案：D 3．以下四个命题中，正确命题的个数是(　　) 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； 若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上． 答案：B 4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　) A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行 解析：若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则ab与a，b异面相矛盾． 答案：C 5．若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c(　　) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．平行、相交、异面都有可能 解析：如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设AA1＝b，A1D1＝a，当A1B1＝c时，a与c相交；当AD＝c时，a与c平行；当AB＝c时，a与c异面． 答案：D 6．如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cosA1BC1＝＝. 答案：D 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________． 解析： 如图，连接DF，因为DF与AE平行，所以DFD1即为异面直线AE与D1F所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD1＝FD＝，由余弦定理得cosDFD1＝＝. 答案： 8．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的________条件． 解析：E，F，G，H四点不共面时，EF，GH一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E，F，G，H四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有EF，GH平行和异面两种情况，当EF，GH平行时，E，F，G，H四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件． 答案：充分不必要 9．(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________． 解析：在正四面体中取CD的中点G，连接FG，EG，作FH平面CDE于点H.因为正四面体的高FH在平面EFG内，且FH平行于正方体的高，可证得平面EFG平行于正方体的左、右两个侧面，故直线EF仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共4个． 答案：4 三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 10．(15分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD＝FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形． (2)由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG， 四边形BEFG为平行四边形，EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，EF∥CH，EF与CH共面． 又DFH，C、D、F、E四点共面． 11．(20分)如图所示，三棱锥P—ABC中，PA平面ABC，BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．