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课时作业50　抛物线 时间：45分钟　分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．(2013·四川卷)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是(　　) A．2 B．2 C. D．1 解析：焦点为(2,0)，所求距离为d＝＝1，选D. 答案：D 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 解析：由抛物线的准线方程为x＝－2，得焦点F(2,0)，＝2，p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x，故选B. 答案：B 3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A. B．1 C. D. 解析：如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3.|CD|＝，所以中点C的横坐标为－＝. 答案：C 4．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|， |AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号． P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D，故选B. 答案：B 5．(2013·江西卷)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM||MN|＝(　　) A．2 B．12 C．1 D．13 解析：由题知，F(0,1)，准线为y＝－1.过M作MM1l于M1，则|FM|＝|MM1|，＝＝sinMNM1，设直线FA的倾斜角为α，则MNM1＝π－α，又FA过A(2,0)，F(0,1)，tanα＝＝－，sinα＝，sin∠MNM1＝sin(π－α)＝sinα＝＝，|FM|:|MN|＝1. 答案：C 6．(2013·新课标全国卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　) A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1) C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1) 解析：如图，抛物线的准线为l1，过A作AA1l1于A1，过B作BB1l1于B1，过B作BCAA1于C，设|BF|＝m，则|BB1|＝m， |AF|＝|AA1|＝3m，|AC|＝2m，|AB|＝4m，CAB＝60°，l的斜率为±，故选C. 答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程是________． 解析：令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝4. 抛物线的焦点是F(4,0)或F(0，－2)，当焦点为F(4,0)时，＝4，p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x；当焦点为F(0，－2)时，＝2，p＝4，此时抛物线的标准方程为x2＝－8y. 故所求的抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y. 答案：y2＝16x或x2＝－8y 8．(2013·江西卷)抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p＝_____. 解析：设抛物线的准线y＝－与y轴交于M(0，－)，又F(0，)，则FM＝p，又AFB为等边三角形，则AB＝p即B(p，－)，代入双曲线方程得－＝1，解得p＝6. 答案：6 9．(2013·浙江卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________． 解析：设直线l的方程为x＝ty－1，联立得y2－4ty＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝4，所以yQ＝2t，将yQ代入x＝ty－1得xQ＝2t2－1，|FQ|2＝(xQ－1)2＋y＝4代入得t＝0(舍)或t＝±1，所以直线的斜率为±1. 答案：±1 三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 10．(15分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p＝2c， 设抛物线方程为y2＝4c·x. 抛物线过点，6＝4c·.c＝1，故抛物线方程为y2＝4x. 又双曲线－＝1过点，－＝1.又a2＋b2