红对勾理科数学课时作业.docVIP

课时作业25　正弦定理、余弦定理的应用举例 时间：45分钟　分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．如下图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是(　　) A．c和α B．c和b C．c和β D．b和α 答案：D 2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　) A. 分钟 B. 分钟 C．21.5 分钟 D．2.15小时 解析：如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.BAC＝120°，DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100. 当t＝时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟． 答案：A 3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是(　　) A．35海里 B．35海里 C．35海里 D．70海里 解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且ECF＝120°，EF＝ ＝＝70. 答案：D 4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　) A．1 B．2sin10° C．2cos10° D．cos20° 解析：如图所示，ABC＝20°，AB＝1，ADC＝10°，ABD＝160°. 在ABD中，由正弦定理＝， AD＝AB·＝＝2cos10°. 答案：C 5．(2013·天津卷)在ABC中，ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 解析：由余弦定理得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝；再由正弦定理＝代入得sin∠BAC＝＝. 答案：C 6．线段AB外有一点C，ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始__________h后，两车的距离最小．(　　) A. B．1 C. D．2 解析：如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x， y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos60° 整理得y2＝12 900x2－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5) 当x＝时y2最小． 答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为________m. 解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)． 答案：5 8．如下图所示，为测量河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得BDC＝45°，则塔AB的高是________米． 解析：在BCD中，DBC＝30°，由正弦定理得＝，BC＝10，在RtABC中，tan30°＝，AB的高是10米． 答案：10 　　 9．(2013·福建卷)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________． 解析：sinBAC＝sin(BAD＋)＝cosBAD＝，由余弦定理BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosBAD代入数据得BD＝. 答案： 三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 10．(15分) 如右图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB＝75°，CBA＝45°，且AB＝100米． (1)求sinCAB； (2)求该河段的宽度． 解：(1)sinCAB＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝×＋×＝. (2)CAB＝75°，CBA＝45°，ACB＝180°－CAB－CBA＝60°，由正弦定理得＝，BC＝.如右图所示，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度． 在RtBDC中，BCD＝CBA＝45°，sinBCD＝，BD＝BCsin45°＝·sin45°＝×＝(