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渗透极限思想，优化解题过程 数学组 王金峰 极限思想在数学中占有举足轻重的地位，早在公元3世纪，我国杰出数学家刘徽在创立“割圆术”的过程中，就丰富了和发展了极限思想，奠基并使用了极限方法，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，就是它对极限思想和方法的精辟论述。事实上，利用极限思想使人们能够从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变成为可能。现行高中教材中有多处内容渗透了极限的思想和方法，如“球的体积和表面积”、“双曲线的渐近线”等，但是极限思想在实际教学中没有得到普遍的认可和推广，学生对这种思想方法相当陌生。下面是笔者尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。 一、寻求极限位置 实现估算与精算的结合 例1、（2000年全国卷第11题）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若 线段与的长分别是、,则等于（ ） (A) (B) (C) (D)  解析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求的关系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分认识到变与不变的辨证关系，利用运动和变化的观点，借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与轴重合，此时Q与O重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为，而，所以，故选择（C）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。 例2、（2003年全国卷第10题） 已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设坐标为若则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出的取值范围，根据极限的观点，令，不妨令与重合，依据入射角等于反射角，即知、、均为各边中点，此时，而四个选择项中仅有选择项（C）与此数据有关，故选（C） 评注：将精算与估算相结合，是一种重要的数学能力，体现了教育改革倡导的新的思想方法，利于从不同层面对理性思维能力进行全面而又灵活的考查。因此，这类数学试题给高中数学教学变革教与学的方向以启示，注重多元联系表示，拓宽思维，提高思维质量。 二、考查极限图形 简化计算 例3、（1994年全国高中数学联赛第5题） 在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 解析：设正n棱锥为，由于多变，所以底面正边形、侧面出现不确定状态，这样导致直接分析求解将是繁难，甚至是“到而不达”的，若另辟蹊径，采用极限法，则解法将是简捷、易行的，其计算量得到极大的简化。 本例中底面正边形固定，而棱锥的高不定，故可将顶点S看作是运动变化的，设相邻两侧面所成的二面角的平面角为。当点S向下运动无限趋近底面正边形的中心这个极限位置时，趋于平角；当点S向上运动趋于无穷远时，侧棱将无限趋于与底面垂直，即正n棱锥趋近于正n棱柱，此时无限趋于底面正边形的内角，故二面角的取值范围是：，从而选(A) 评注：“化静为动，以动制静”，利用运动和变化的观点，着眼于问题的极限状态，摈弃了繁琐的数学运算，使得所研究问题更加直观、明朗。因此，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径。 三、分析极限状态 探索解题思路 例4、已知抛物线方程为。求证：在轴正方向上必存在一点M，使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有为定值。 分析：假设点M确实存在，因为过点M的任意一条弦PQ均有为定值，因此对过点M的一条特殊弦——垂直于轴的弦也应该有为定值。设，则，但是仅凭此式还看不出点M到底是哪个定点。下面再考查弦的一个极限情形——轴的正半轴，它过点M，它的一个端点是原点O，另一个端点可以看成是无穷远处的极限点（假想的点），它是弦的一种极限情形，显然有，所以，它也应该是定值，且，由此可得，于是可以猜想定点， 下证过点的任一弦PQ均有（定值）。 证明：设过点的直线参数方程为，代入抛物线方程得，设此方程的两根为，则，而的几何意义分别表示MP及MQ的值。 ∴ 因此点是满足题意的点。 评注：通过分解有关对象在运动变化过程中的极限状态，提取信息、信息整合，即而寻求到合理的解决问题的途径，降低了解题难度，优化