三章 向量组的相关性.ppt

又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组 所以， 是 的一个极大无关组。 考虑：是否还有其他的极大无关组？ 与 例5：求向量组 的一个极大无关组，并把其余 向量用该极大无关组线性表示。 解：设 则B的1，2列为极大无关组，且 所以 为所求的一个极大无关组，且 6、利用向量的秩判断向量组的相关性 向量组 线性无关 向量组 线性相关 例: 试讨论向量组 及向量组 的线性相关性. 注：无法找出线性表示系数 7. 矩阵的秩与行列式的关系 定理: n阶方阵A， 即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵） A的n个行（列）向量线性无关 A的n个行（列）向量线性相关 1、定义：设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合 为向量空间． 第四节 n 维向量空间 说明: 集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 例1：3维向量的全体 是一个向量空间。 n维向量的全体 ，也是一个向量空间。 例2: 判别下列集合是否为向量空间. 解： 所以， 是向量空间。 (2) 不是向量空间。 是否为向量空间. （这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间） 一般地，由向量组 所生成的向量空间为 例3：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合 解： 所以V是一个向量空间。 4. 向量空间的基与维数 定义：设V是向量空间，如果r个向量 且满足 线性无关。 （1） （2）V中任一向量都可由 线性表示， 那么，就称向量组 是向量空间V的 一个基，r称为向量空间V的维数，记作dimV＝r 并称V是r维向量空间。 注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。 （2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向 量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。 （3）向量空间的基不唯一。 一、向量的内积 、长度、夹角 定义1 例： 第五节 内积与正交向量组 内积是向量的一种运算，它具有下列性质 对称性 线性性 正定性 向量的内积是数 例： 定义2 向量长度的性质： （1）非负性： 当 时， 当 时， （2）齐次性： （3）柯西—施瓦兹不等式： （4）三角不等式： 且等号成立的充分必要条件是向量?与?线性相关 下面将向量长度和夹角的概念推广 例： 把向量单位化： 若 则 例： 定义3 两向量?与?的夹角由下式 确定 零向量与任何向量正交 Rn中向量组 它们两两正交 例： 例： 二、正交向量组 定义4：由一组两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组 定理3 例2 证： 注意：线性无关不一定正交，如 三、正交规范基 定义4 若它们都是单位向量 则称它们是n维空间的一个正交规范向量组 定理4 例： 四、施密特正交化方法 它不一定是正交向量组 例4 一、定义： 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 第一节 n维向量的概念 第四章 向量组的线性相关性 n维实向量 例如： n维复向量 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 二、n 维向量的表示方法 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 三、向量、向量组与矩阵 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之， 四、 向量的运算和性质 ：满足矩阵运算律 一、 称为向量组A的一个线性组合， 第二节 向量组的 线性相关、 线性无关 或称 可被 线性表示。 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 向量 可由向量组 线性表示的 充分必要条件是： 定理1: 注意： 定义 二、线性相关性的概念 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 例1：用定义判断线性相关性。 (1) 向量 线性______关。 (2) 向量 线性______关。 相 相 结论3： 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； 几何意义： (1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 结论4：两个向量对应分量成比例，线性相关 结论1： 包含零向量的任何向