专题5：方程(组)应用探讨.doc

【中考攻略】专题5：方程（组）应用探讨 初中数学中列方程（组）解应用题是一项重要内容，也是中考中与不等式（组）的应用二选一（或同题）的必考内容。初中阶段主要包括一元一次、二次方程，分式方程，二元一次方程组（有些地区还有无理方程和可化为二元一次方程的高次方程组）。它们应用的基本步骤是相同的，基本步骤为： ①审（审题）； ②找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）； ③设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）； ④表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程（组））； ⑥解（解方程（组））； ⑦验（检验解的有效性和实际意义的符合性）； ⑧答（回答题问）。 它们的应用包括（1）行程问题；（2）工程问题；（3）溶度问题；（4）增长率问题；（5）销售利润和存贷问题；（6）比例和调配（分配）问题；（7）数字问题；（8）和差倍分问题；（9）几何问题；（10）分段问题；（11）规律探究问题；（12）不定方程问题；（13）在函数问题中的应用问题。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。版权归锦元数学工作室，转载必究 一、行程问题版权归锦元数学工作室，转载必究 解题指导： （1）基本量是：路程、速度和时间。 基本关系是：①路程= 速度×时间；②时间=；③速度=。 （2）基本类型：相遇问题；相背问题；追及问题；行船（风速）问题；环形跑道问题等。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在行船（风速）问题中很多时候还用速度作相等关系。 行船（风速）问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化： ①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）； ②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。 由此可得到行船（风速）问题中一个重要等量关系： 顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。 典型例题： 例1.（宁夏区3分）小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了 16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分 钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。 【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为： 上坡用的时间×上坡的速度＋下坡用的时间×下坡速度=1200， 上坡用的时间＋下坡用的时间=16。 把相关数值代入（注意单位的通一），得。故选B。 例2.（浙江台州4分）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考点】方程的应用（行程问题）。 【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题只要列出方程即可。由题设公共汽车的平均速度为x千米/时，则根据出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时得出租车的平均速度为x＋20千米/时。等量关系为：回来时路上所花时间比去时节省了，即 回来时路上所花时间是去时路上所花时间的 = · 故选A。 例3.（四川内江3分）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为千米/小时，依据题意列方程正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】C。 【考点】由实际问题抽象出方程（行程问题）。 【分析】∵甲车的速度为千米/小时，则乙甲车的速度为千米/小时 ∴甲车行驶30千米的时间为，乙车行驶40千米的时间为， ∴根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得。故选C。 例5. （江苏宿迁10分）某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6 h。问平路和坡路各有多远？ 【答案】解：设平路有x km ，坡路有y km，根据题意，得 ，解得。 答：平路有150 km ，坡路有120 k