专题复习 与圆的切线有关的证明与计算.ppt

1.如图9所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.（1）求证：直线PB与⊙O相切（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC=4.求弦CE的长． 专题复习 与圆的切线有关的证明与计算 仁德一中 保德礼 　切线的性质 定理：圆的切线________于经过切点的半径． 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线． 　切线的判定 垂直 垂直 有交点，连半径，证垂直 （1）证明:过点O作OD⊥PB,连接OC. ∵AP与⊙O相切, ∴OC⊥AP. 又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC. ∴PB是⊙O的切线. ∵ ∴ （2）解:过C作CF⊥PE于点F. 在Rt△OCP中，OP= 在Rt△COF中， ∴ 在Rt△CFE中， 【教材原型】 如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______ 【解析】　连结OC，因为PC为⊙O的切 线，所以∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB ＝2－1＝1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径； (2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直。 练习：如图，AB是⊙O 的直径，⊙O交BC的中点于D， DE⊥AC. 求证：DE与⊙O相切. 一题多解 变式训练 规范书写 (昆明）如图，已知AB是⊙O的直径，过点E的直线EF与AB的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC。 求证：CF是⊙O的切线。（5分） （1）证明：连接OE……………1分 ∵AE平分∠FAC ∴∠CAE=∠OAE 又∵OA=OE， ∴ ∠OEA=∠OAE …………..…2分 ∴ ∠CAE=∠OEA ∴OE∥AC…………………....…3分 ∴∠OEF=∠ACF 又∵AC⊥EF ∴∠OEF=∠ACF=90° ∴OE⊥CF …………………...…4分 又∵点E在⊙O上 ∴CF是⊙O的切线…………..…5分 看看你能得几分？ 变式 （广州） 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD ，设⊙O是△BDE的外接圆。 求证：AC是⊙O的切线。 DE⊥BD ，设⊙O是△BDE的外接圆 变式训练 例：如图 ，已知： 为 角平分线上一点， 于 ，以 为圆心， 为半径作圆。 求证： 是⊙ 的切线。 无交点，作垂直，证半径 证明：过O作OE⊥AC于E ∵ AO平分∠BAC OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OE是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线 E 【教材原型】 已知：如图，A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O 于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°， 求证：直线AB是⊙O的切线． 证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC， ∠A＝30°， ∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°， ∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°. ∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A) ＝180°－(60°＋30°)＝90°， ∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线． 【思想方法】　证明圆的切线常用两种方法“连半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”． 【中考变形】 1．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长． 解：(1)证明：连结OD， ∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线． 又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4， 2.（2015?昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径 OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径． 证明：（1）如图1，连接OE， ∵OA=OE， ∴∠EAO=∠AEO， ∵AE平分∠FAH， ∴∠EAO=∠FAE， ∴∠FAE=∠AEO， ∴AF∥OE， ∴∠AFE+∠OEF=180°， ∵AF⊥GF， ∴∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE⊥GF， ∵点E在圆上，OE是半径， ∴GF是⊙O的切线． （2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10， ∴AB=CD=10，∠ABE=90°， 设OA=OE=x，