YQJChHrmt插值.ppt

注解： ? n ?1 个条件可以确定 n 次多项式。 ?要求在 1 个节点 x0 处直到 m 阶导数都重合的插值多项式为Taylor多项式. ? 一般只考虑 f 与 f ? 的值。 ? Hermite 插值问题 给定函数 f (x) 与 n ?1 互异的节点 x0, x1, ?, xn, ? xi0, xi1, ?, xim ? ? ? x0, x1, ?, xn ? ; 寻找一个 n?m?1 次的多项式 H(x) , 使其满足 定理5.2 给定函数 f (x) 与互异的节点 x0, x1, ?, xn，则有唯一的 n?m?1 次多项式 H(x) 满足插值条件 (5.19) 与 (5. 20). 证 下面的多项式满足定理条件。 (3) 再用待定系数法,去选取 ak , 使 H(x) 再满足插值条件 (5.20). 因为， 式 (5.22) 是一个以 a0, a1, ?, am 为未知数的线性方程组，由于? xik? 是互异的，故此方程组有唯一的解， H(x) 被确定。 唯一性证明, 见教材. 定理5.3 设 x0, x1, ?, xn 是互异的实数, 对于给定的 x, 实值函数 f(t) 在区间 Ix 上有 n?m?2 阶导数， H(x) 是满足插值条件(5.19) (5.20)的 n?m?1次 Hermite 插值多项式, 则有余项公式： 例3 给定数表 求次数不高于 5 次的多项式 H5(x),使其满足 其中 xi ? ?1? i (i ?0,1,2,3). 数学符号 x0, x1, ?, xn, y0, y1, ?, ym, xi ? ?1? i k=0,1, ?, n ?1. ??0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?? ?(x, y) ? pnm(x, y) ? ???? ??? ?? ? ?? ? ? ?? ??? ??????? ? ? ? ? ΓΔΘΛΞΦΨΩ ????? ????? ????? ????? ????? ? ????? ??????? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ????????? ????? ????? ?????? ????????? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ * * 5.2 Hermite 插值 Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。 Hermite 插值 不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即， 要求插值函数 p(x) 满足p(xi) ? f (xi), p ?(xi) ? f ?(xi),…, p(m) (xi) ? f (m) (xi). Hermite 插值 其余项为 其中 pn(x) 是满足插值条件 (5.19) 的多项式, 而 ?n+1 (x)= ( x ? x0)( x ? x1)( x ? x2)…( x ? xn) (1) H(x) 是满足插值条件 (5.19) 的多项式。 (2) H(x) 是 n?m?1 次多项式 。 求解 Hermite 插值多项式的步骤： (1) 取插值函数 pn(x), 求解方程组 (5.22), 得到 ai . (2) 做 (3) 做 Hermite 插值余项公式 f(x) H(x) 几何解释：曲线y=Hm+n+1不仅要通过点(xi,yi)， (i=0,1,…,n) ，而且在点(xik,yik) (k=0,1,…,m) 处， 曲线y=Hm+n+1与曲线y=f(x)有共同的切线。 解：先建立满足条件p3(xi)=f(xi)(i=0,1,2,3)的三次插值多项式p3(x)，现采用Newton插值多项式 再设 由 得 解出 故所求的插值多项式为 例：试用埃尔米特（Newton-Hermite）插值法，构造一个满足下列插值条件的四次插值多项式H(x)，并估计余项。 0 1 0 1 1 0 1 2