2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质讲解.ppt

求曲线的方程的一般步骤： 1.建系设点：建立适当的坐标系， 用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； 2. 找等量关系：写出适合条件p的点M的集合； 3. 列方程： 用坐标表示条件p（M），列出方程F(x,y)=0; 4.化简方程F(x,y)=0； 5.检验：（一般情况下可省略） 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 看书和学习是思想的经常营养，是思想的无穷发展。 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 1.复习引入 曲线的方程与方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F（x,y)=0 之间具有如下关系： ⑴曲线C上点的坐标都是方程F（x,y)=0的解； ⑵以方程F（x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么，曲线C叫做 ；方程 F（x,y)=0叫做_______________． 方程F(x,y)=0的曲线 曲线C的方程 2.解析几何 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程 通过方程，研究平面曲线的性质 1.了解用坐标法研究几何问题的方法.（重点） 2.了解解析几何讨论的两个基本问题.（难点） 3.掌握由曲线的几何条件求曲线方程.(重点） 4.学会由曲线方程研究曲线的几何性质.(重点） 满足某种条件的点的集合或轨迹. 曲线 (x,y) F(x,y)=0 探究点 如何建立曲线的方程？如何利用方程研究曲线的性质？ 借助坐标系研究几何图形的方法. 坐标法 数形结合的完美体现 下面让我们通过实例，进一步体会如何建立曲线的方程，以及如何利用方程研究曲线的性质. 例．设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1，求动点M的轨迹方程并利用方程研究轨迹(曲线)的性质. 解：（1）求动点M的轨迹方程： ① 建立直角坐标系. 取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy； ② 设动点M的坐标为(x，y)； ③ 把几何条件转化为坐标表示： 过点M分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，由轨迹上的点M与两坐标轴的距离之积等于1，得 点M是轨迹上的点 |ME|·|MF|=1 因为点M与x轴的距离|ME|=|y|，与y轴的距离|MF|=|x|，所以上述条件转化为方程的表示： |x|·|y|=1. 这个方程等价于xy=1或xy=－1. 这就是说，M(x，y)在曲线上，则它的坐标满足方程，以|x|·|y|=1的解为坐标的点M(x，y)都在曲线上.因此方程|x|·|y|=1为所求动点轨迹的方程. ④ 证明(略)； （2）利用方程研究曲线的性质： ① 曲线的组成 由于方程|x|·|y|=1等价于下列两个方程xy=1或xy=－1，每一个方程都表示一条曲线，由此可知表示方程的曲线由上述两个方程的曲线组成； ② 曲线与坐标轴的交点 由方程|x|·|y|=1，可推知x≠0且y≠0，因此方程的曲线与两坐标轴没有交点，方程对应的曲线被两条坐标轴分开； ③ 曲线的对称性质 在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，这个方程并未变化，因此方程的图象关于y轴对称. 在方程|x|·|y|=1中，以－y代替y，这个方程也 未变化，因此方程的图象关于x轴对称; 在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，同时以－y 代替y，这个方程也未变化，因此方程的图象关于原点 中心对称. 由以上分析可知，这个方程所表示的曲线，既是轴对 称图形，也是中心对称图形.因此我们在研究方程的 曲线时，只要研究它在第一象限的那一部分曲线即可. ④ 曲线的变化情况 由曲线的对称性质，我们只考虑第一象限的情况 (x0，y0)，由方程可知，当变量x逐渐变大时， 变量y的值逐渐变小，曲线无限地靠近x轴； 当变量x逐渐变小时，变量y的值逐渐变大， 曲线无限地靠近y轴； ⑤ 画出方程的曲线 列表： … 1 2 3 … y … 3 2 1 … x 由以上对方程的分析和列表，可以画出方程的曲线在第一象限那一部分；再根据曲线的对称性，可画出方程所表示的整个曲线. y [例1] 已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． [分析]用直接法可求动点M的轨迹方程，并通过讨论λ的取值范围来确定轨迹方程表示的曲线． [解析]如图所示，设MN切圆于N，于是动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，常数λ0， 因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝ |MO|2－|ON|2＝|MO|2－1. 设点M的坐标为(x，y),则 注意挖掘问题中的隐含条件 A 【变式练习】 整理 [例2] 在△ABC中，B(－1,0)，C(1,0)，若BC边上的高为2，求垂