2.1离散时间信号的傅立叶变换-数字信号处理讲解.ppt

第二章离散时间信号的傅立叶变换 第二章离散时间信号的傅立叶变换 1822年，法国工程师傅立叶指出，一个“任意”的周期函数x(t)都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这就是傅立叶级数，求解傅立叶系数的过程就是傅立叶变换 。 傅立叶级数和傅立叶变换又统称为傅立叶分析或谐波分析。傅立叶变换实际上是将信号x(t)和一组不同频率的复正弦作内积，这一组复正弦即是变换的基向量，而傅立叶系数或傅立叶变换是信号x(t)在这一组基向量上的投影。 2．1 连续时间信号的傅立叶变换 傅立叶级数： 设x(t)是一周期信号，其周期为T，若x(t)在一个周期内的能量是有限的，即 那么，可将x(t)展开成傅立叶级数，即 式中X(kΩ0)是傅立叶系数，其值应是有限的。它代表了x(t)中第k次谐波的幅度，X(kΩ0)也是离散的，即k=-∞ ~ +∞，两点之间的间隔是Ω0。 2．1 连续时间信号的傅立叶变换 1. 连续周期信号的傅立叶变换 例：有一周期矩形信号，它的傅立叶级数为τ=0.2T, T=1 ,A=5 A -T -τ/2 τ/2 T X(kΩ) k 2．1 连续时间信号的傅立叶变换 连续非周期信号的傅立叶变换 设x(t)是一个连续时间信号，若x(t)属于L2空间，即 那么， x(t)的傅立叶变换存在，并定义为 其反变换是 式中Ω=2πf为角频率，单位是rad/s，X(jΩ)是Ω的连续函数，称为信号x(t)的频谱密度函数，或简称为频谱。 2．1 连续时间信号的傅立叶变换 例：设x(t)为上例中的周期矩形信号的一个周期，其傅立叶变换 由于x(t)是实的偶函数，所以X(jΩ)也是实的偶函数，它是频域的sinc函数。 能量有限 -10 -2π/τ 0 2π/τ 10 Ω(rad/s) X(jΩ) 0.5 0 2．1 连续时间信号的傅立叶变换 小结（傅立叶级数和傅立叶变换的区别与联系） 级数对应的是周期信号，而傅立叶变换对应的是非周期信号，前者要求信号在一个周期内的能量是有限的，而后者要求信号在整个时间区间内的能量是有限的。 傅立叶级数的系数X(kΩ0)是离散的，而傅立叶变换X(jΩ)是Ω的连续函数，由此可见，傅立叶级数与傅立叶变换二者的物理含义不同，因而量纲也不同。X(kΩ0)代表了周期信号x(t)的第k次谐波幅度的大小，而X(jΩ)是频谱密度的概念。 周期信号的傅立叶系数和用该信号的一个周期所 2．1 连续时间信号的傅立叶变换 求出傅立叶变换的关系为 周期信号x（t）的功率为