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2.2.1椭圆的标准方程制讲解
2.2.1椭圆及其标准方程 刘会芳 2015年12月7日 一.认识 导 生活中 的椭圆 问题2、在这一过程中你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件吗? 问题3、椭圆的定义是什么?焦点、焦距概念是什么? 问题4、如何建立坐标系?如何化简得到椭圆的标准方程? F1 F2 M 问题1、[1]取一条定长的细绳, [2]把它的两端固定在板上 的两点F1、F2 [3]套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线? 阅读教材完成下列问题 思、议 椭圆的图形 观察做图过程: [1]由于移动笔尖过程中,细绳的长度保持不变,即笔尖 M 到两个定点的距离之和等于常数。 [2]绳长应当大于F1、F2之间的距离。。 (二)勇攀高峰 1、椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距。 F1 F2 M 如果设M是椭圆上任意一点,M与定点F1、F2的距离的和等于2a,椭圆的焦距为2c。 则椭圆的定义,还可以用集合语言表示为: P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a(2a2c)}. 思、议、展 1. 改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 2.绳长能小于两图钉之间的距离吗? 思、议、展 1. 改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 2.绳长能小于两图钉之间的距离吗? 展、评 即2a2c时 表示椭圆 即2a=2c时 表示线段 即2a2c时 不表示任何图形 议、展 练习1.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,则动点P的轨迹为( ) 变式: (1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是8,则 动点P的轨迹为( ) (2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则 动点P的轨迹为( ) A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 A B D 想一想吧 思议 (三)椭圆的标准方程 1.方程推导 x y M F1 F2 解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一 点,椭圆的焦距2c(c0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a2c) ,则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) . 由椭圆的定义, 代入坐标 (想一想:下面怎样化简?) O 思、议 O X Y F1 F2 M (-c,0) (c,0) (x,y) 两边平方得:a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 即:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 方程两边同时除以 a c b 即 观察左图, 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗? a2-c2 有什么几何意义? 则方程可化为 ( ) 2、椭圆的标准方程: 焦点在x轴: 1 2 y o F F M x F1(-c,0)、F2(c,0) 焦点在y轴: 1 o F y x 2 F M F1(0,-c )、F2(0,c) 展、评 分母哪个大,焦点就在哪个轴上 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 a2-c2=b2 椭圆的标准方程小结 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 1 2 y o F F M x y x o F 2 F 1 M 展 (四)锋芒初现 1、下列方程哪些表示的是椭圆,如果是,判断它的焦点在哪个坐标轴上? 注意: 分母哪个大,焦点就在哪个坐标轴上,反之亦然。 检 2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4,b=1,焦点在坐标轴上; (2) 两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且经 过点P 解: 因为椭圆的焦点在y轴上, 设它的标准方程为 ∵ c=2,且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点P ∴ ……② 联立①②可求得: ∴椭圆的标准方程为 (法一) x y F1 F2 P 或 检、展 (法二) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的 标准方程为 由椭圆的定义知, 所以所求椭圆的标
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