清华微积分高等数学课件第五讲导数与微分一.ppt

* P59 习题3.1 作 业 预习P60 —67. P70 —78 8. 9 (3)(6). 11(2)(6). 12. 13. 第五讲 导数与微分（一） 二、导数定义与性质 五、基本导数（微分）公式 一、引言 三、函数的微分 四、可导、可微与连续的关系 一、引言 两个典型背景示例 [例1] 运动物体的瞬时速度 设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 求在时刻 的瞬时速度. [解] 如果极限存在, 这个极限值就是质点的 瞬时速度. [例2] 曲线的切线斜率问题 什麽是曲线的切线？ 二、导数定义与性质 1. 导数定义： [注意1] 导数的等价定义： [注意2] 导数的意义： 物理意义 几何意义 导数是函数在一点的变化率 例:线密度问题 左导数 右导数 2. 单侧导数定义： 定理： 3. 导函数定义： 三、函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来 研究;而微分则是直接研究函数的增量， 这有许多方便之处。 （一）函数的微分的定义 四、可导、可微与连续的关系 定理1: 函数可微与可导是等价的 [证] (1) [证] (2) 定理2： [证] [注意] 可导必连续, 连续不一定可导！ [解] 尖点 [解] 有铅垂切线 [解] 振荡 不存在！ 微分的几何意义 微分三角形