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第六节 微分学在几何上的应用 二、曲面的切平面与法线 小 结 解 切平面方程为 法线方程为 即 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意,切平面方程平行于已知平面,得 即 * 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M 处的切线为 此点处割线的极限位置. 下面考察割线趋近于极限位置 切线的过程. —— 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 割线的极限位置——切线位置 1.空间曲线用参数方程表示 设 其中的三个函数在 均可导. 建立空间曲线的切线方程 割线趋近于的极限位置——切线 上式分母同除以 割线 的方程为 当 时 曲线 切线的方向向量称为曲线的切向量: 在 处的切线方程为: 它的指向与参数 t 增大时 点 M 移动的 走向一致. 法平面的方程 曲线的切向量 也是法平面的法向量, 过点 M 与切线垂直的平面 称为曲线? 在点 M 处的法平面. ? 解 切线方程 法平面方程 曲线在M处的切线方程为: (1)空间曲线方程为 法平面方程为 2.空间曲线用其它形式表示 看作参数方程 切向量 设 切向量 (两柱面交线) (2)空间曲线方程为 则由隐函数求导法得 若方程组在 处确定一组隐函数 切向量 法平面方程为 切线方程为 法平面方程为 一般地,曲线 的 将所给方程的两边对x求导,得 解 隐函数 移项 所求切线方程为 法平面方程为 由此得切向量 解得 即 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 建立切平面方程 由于曲线 在曲面 上, 故 等式两边求全导数, 在 有 即 令 则 切平面方程为 它们在点 M 的切线都与同一向量 垂直, 故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都 在同一平面上, 切平面. 由于 是曲面上通过M的任意一条曲线, 这个平面称为曲面在点M的 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 通过点 称为曲面在该点的法线. 而垂直于切平面的直线 解 令 切平面方程 法线方程 即 特殊地: 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 空间曲面方程形为 法向量为
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