2009-2010-2《算法分析》ppt-8贪心法--1讲解.ppt

贪心法 贪心法 贪心是最常用的解决问题的策略之一。 学习的例子： 1、单源点最短路径问题 2、最小生成树问题 3、哈夫曼编码 4、有期限的任务安排问题 单源最短路径 给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。 1、算法基本思想 Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。 单源最短路径 其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。 初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。 单源最短路径 例如，对右图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下页的表中。 单源最短路径 单源最短路径 2、算法的正确性和计算复杂性 (1)贪心选择性质 (2)最优子结构性质 (3)计算复杂性 对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要 时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要 时间。算法的其余部分所需要时间不超过 。 最小生成树 设G =(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。 网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如，在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权c[v][w]表示建立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络的最经济的方案。 最小生成树 1、最小生成树性质 用贪心算法设计策略可以设计出构造最小生成树的有效算法。本节介绍的构造最小生成树的Prim算法和Kruskal算法都可以看作是应用贪心算法设计策略的例子。尽管这2个算法做贪心选择的方式不同，它们都利用了下面的最小生成树性质： 设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)?E，且u?U，v?V-U，且在所有这样的边中，(u,v)的权c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。这个性质有时也称为MST性质。 最小生成树 2、Prim算法 设G=(V,E)是连通带权图，V={1,2,…,n}。 构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是：首先置S={1}，然后，只要S是V的真子集，就作如下的贪心选择：选取满足条件i?S，j?V-S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S=V时为止。 在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。 最小生成树 利用最小生成树性质和数学归纳法容易证明，上述算法中的边集合T始终包含G的某棵最小生成树中的边。因此，在算法结束时，T中的所有边构成G的一棵最小生成树。 例如，对于右图中的带权图，按Prim算法选取边的过程如下页图所示。 最小生成树 最小生成树 在上述Prim算法中，还应当考虑如何有效地找出满足条件i?S,j?V-S，且权c[i][j]最小的边(i,j)。实现这个目的的较简单的办法是设置2个数组closest和lowcost。 在Prim算法执行过程中，先找出V-S中使lowcost值最小的顶点j，然后根据数组closest选取边(j,closest[j］)，最后将j添加到S中，并对closest和lowcost作必要的修改。 用这个办法实现的Prim算法所需的计算时间为 最小生成树 3、Kruskal算法 Kruskal算法构造G的最小生成树的基本思想是，首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小到大排序。然后从第一条边开始，依边权递增的顺序查看每一条边，并按下述方法连接2个不同的连通分支：当查看到第k条边(v,w)时，如果端点v和w分别是当前2个不同的连通分支T1和T2中的顶点时，就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看第k+1条边。这个