函数单调性与曲线凹凸性的判别法.ppt

* 第九节 函数单调性与曲线凹凸性的判别法 本节要点 本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函 一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸性的判别法 数的单调性及曲线的凹凸性. 一、函数单调性的判别法 1.问题的提出 设函数 如果函数 负, 即 如果函数 在 在 上单调增加, 则曲线的图形是一条沿 轴正向 逐渐上升的曲线, 因而曲 线上各点处的切线斜率非 a b 同样, 由导数的定义及极限的保号性, 上单调减少, 则曲线的图形是一条沿 轴正向逐下降的 曲线, 因而曲线上各点处的切线斜率非正, 即 由此可见, 函数的单调性与其导函数的符号有密切的关 系. 我们可证明: a b 若可导函数 在区间 上单调增加（减少）, 反之, 我们有 定理 （函数单调性的判别法） 若 ⑴若 有 且 则: ⑵若 有 则对任意的 有 则 在 上 单调增加; 则 在 上 单调减少. 证 仅证⑴. 则由拉格朗日中 又因: 故 由此说明函数是单调增加的. 值定理, 得 例1 判定函数 解 因 我们知道, 函数 是 的单调性. 所以 是单调增加的. 单调增加的, 但 此说明一个单调增加的函数, 其导函数可能有若干个零点. 作为一般结论, 我们有 定理 若函数 在区间 上可导, 且在 例2 设 则 所以, 函数 在任何一个有限区间仅有有限个驻点, 由 的任何一个有限区间内 仅有有限个零点, 则 是单调增加的. 上面的定理知函数是单调增加的. 水平切线 例3 讨论函数 解 因 所以当 即 的单调性. 是单调减少的; 当 增加的. 即函数是单调 可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表 注 此例说明了如何去讨论函数的单调性: 若函数点 点可导, 则可根据函数的驻点将函数划分成若干个单调 区间. 但若函数在某些点不可导, 则此方法不再适用. 例4 求函数 解 函数 的定义域为 并且在区间 当 从而将定义域分成三个区间: 当 因而函数单调增加; 的单调区间. 内连续. 的导数为 当 因而函数单调减少; 当 因而函数单调增加. 将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下: 单调下降 单调上升 结合上面的两个例子, 我们得到求函数单调区间的一 ⑴确定函数的定义域; ⑵求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可 ⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 般方法: 导点; 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的 单调性. 应用: 证明不等式. 例5 证明当 时, 有 证 令 所以函数 在区间 中是单调增加的, 因而 则 当 时, 有 注 从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的 即 基本方法. 问题 证明当 时有: 方法 ⑴构造函数 ⑵验证