初一奥数--线段与角.ppt

线段与角 主讲：刘文峰 线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用． 小明做作业需要买一些文具．在他家的左边 200 米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路程？ 在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？ 钟表是大家熟悉的计时工具，你可曾观察过在 2 点到 3 点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针与分针成90°角？ 我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑筋，对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会． 例1、已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F 分别是AB 和CD 的中点，且EF=12厘米(cm)，求AD 的长(如图 1－6)． 分析： 线段EF是线段AD的一部分，题设给出了EF的长度，只要知道线段EF占全线段AD的份额，就可求出AD 的长了． 解：因为 AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中点，F是CD中点，将线段AD九等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位，则AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．从而EF=EB+BC+CF=1+3+2=6， 即EF占AD全长的 ， 所以线段AD的长＝ (厘米) 例 2 、在直线l上取A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB、AC中点．求MN的长度(如图 1－7)． 分析： 因为是在直线上取C点，因此有两种情形：C点在A点的右侧或C点在A点的左侧． 解：若C点在A点的右侧(即在线段AB上)．因为 AC=2 厘米，N为AC中点，所以AN=1厘米；又AB=10厘米，M为AB中点，所以AM=5 厘米． 则MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图 1－7(a))． 若C点在A点的左侧(即在线段 BA 延长线上)，此时MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 1－7(b))． 线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短． 例 3、 如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后， 折到B处放牧吃草．请问， 饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？ 分析： 将河流看作直线l(如图1－9 所示)．设羊群在河边的饮水点为C，则羊群行走路程为AC+CB．设A关于直线l的对称点为A，由对称性知CA=CA． 因此，羊群行走的路程为AC+CB． 线段A＇C＇与 C＇B是连结点A＇与点B 之间的折线．由线段的基本性质知，连结点 A＇与点B 之间的线中，线段AB最短．设线段AB与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点． 解：作A关于直线l的对称点A‘．连结B，A’，并设线段BA‘与l交于C．设C’是l 上不同于C的另外一点，只要证明 AC＇+C＇B＞AC+CB ①即可． 利用线段基本性质及点关于直线的对称性知AC＇=C＇A＇及 CA=CA＇，所以 AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B， AC+CB=CA＇+CB=A＇B． 而 C＇A＇与 C＇B是连结A＇，B的折线，而 A＇B 则是连结这两点之间的线段，所以 C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB， 从而①成立，即选择 C 点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短． 例4、 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围． 分析：设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图1－10)，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点 A，B之间的一条折线，因此， AB＜BC+CD+DE+EA． 如果 AB 是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围． 解：设最长的一段 AB 的长度为 x 厘米，则其余 4 段的和为(10-x)厘米．由线段基本性质知 x＜10-x，所以 x＜5，即最长的一段 AB 的长度必须小于 5 厘米． 例 5、 若一个角的余角与这个角的补角之比是 2∶7，求这个角的邻补角． 分析： 这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的概念，概念清楚了，问题不难解决． 解 ：设这个角为α，则这个角的余角为90°-α，这个角的补角为180°-α．依照题意得： (90°-α)∶(180°-α)=2∶7 所以：360°-2α=630°-7α 5α=270°