现代设计法概论3.ppt

机械优化设计 Engineering Optimization 下面要讲的主题 内容 非约束问题 变换方法 现有的方案，优化条件 稳定点的特性 全局最优 无约束优化 为什么要考虑? 去除起作用约束 ? 无约束问题 为有约束优化问题打下理解的基础 将无约束问题转化为有约束问题 相关的工程问题 (势能最小化) 转换约束问题 通过障碍函数barrier functions变换： 变换问题 变换问题 障碍函数将产生可行内部最优点 : 惩罚函数 另一种变换:惩罚函数 penalty functions 惩罚函数 惩罚函数将产生不可行，外部最优解: 转换问题总结 障碍函数 惩罚函数 Barrier function Penalty function 需要可行 Yes No起始点吗? 优化解特性 内部 外部 (可行) (不可行) 约束类型 g g, h 无约束工程问题 Example: 加载荷结构的位移 无约束工程问题 势能: 无约束工程问题 内容 非约束问题 变换方法 现有的方案，优化条件 稳定点的特性 全局最优 求解无约束问题的理论 假定: 目标函数连续且可微 (C1) 区域闭合且有界 (紧致) 一维问题 计算: f 取最小值的条件 一阶导数为0: 二阶导数为正: 一维问题(2) 最小化条件: f”(x) 0 几何解释 正 局部递增 一维问题 (3) 驻点的可能情况 (f’ = 0): 例 Aspirin pill revisited: worst pill ever! Maximize dissolving time ? minimize surface area 例 (2) 多维问题 多维 Taylor 级数的局部展开近似求多维最小化问题: 多维问题(2) 对最小化问题, 考虑二阶近似: 多维问题(3) 二阶近似: 正定 Hessian positive definite 例 加载结构: 例 (2) 二阶导数 充分条件: H 正定吗? 二次函数 2nd 阶多项式形式: 二次函数 (2) 转换为对称矩阵形式: 二次函数 优化: 梯度Gradient: Hessian 矩阵: 例 考虑 例 (2) 结果: 在 (1.2, -2.6)处最小: 例: 最小二乘法 最小二乘法: 无约束优化问题 内容 非约束问题 变换方法 现有的方案，优化条件 稳定点的特性 全局最优 稳定点特性 Hessian H 正定: 二次型 特征根 稳定点特性(2) Hessian H 负正定: Quadratic form Eigenvalues 稳定点特性(3) Hessian H 不定: Quadratic form Eigenvalues 稳定点特性(4) Hessian H 半正定: Quadratic form Eigenvalues 稳定点特性(5) Hessian H 负半正定: Quadratic form Eigenvalues 稳定点特性总结 Structural example 带扭转弹簧的铰接式桁架: 内容 非约束问题 变换方法 现有的方案，优化条件 稳定点的特性 全局最优 全局优化 无约束问题的优化条件: 必须存在一阶导数: (稳定点) 二阶导数存在更好: H 在 x*处为正定 凸函数 凸函数Convex function:两点的连线完全处在f(X)曲线(曲面)的上方，或在f(X)曲线(曲面)上 凸区域 凸集: “A set S is convex if for every two points x1, x2 in S, the connecting line also lies completely inside S” 凸性及全局优化 如果: 目标 f = (严格) 凸函数 可行区域 = 凸集 Example 带有正定矩阵A的二次函数是严格凸集: 优化条件总结 无约束问题局部最小化条件: Exact methods: see e.g. /10329.html f x1 x2 x f 驻点: 局部特性: minimum 局部特性: maximum 局部特性: saddle point 局部特性: valley H singular! 局部特性: ridge H singular! 正定性 H 特性 x* Positive d. Minimum Positive semi-d. Valley Indefinite Saddlepoint Negativ