两直线相互关系多元函数极限连续.ppt

二、两直线间的相互位置关系 第八章 多元函数 一、平面点集、n维空间 高等数学（下）主讲杨益民 回忆： 空间平面方程： 1. 点法式方程 2. 三点式方程 3.截距式方程 4. 一般方程 三个条件确定一张平面 5. 两平面夹角余弦公式： 6. 点到平面距离公式： 空间直线方程： 1. 一般方程 2. 对称式方程 3. 空间直线的参数方程 4. 空间直线的两点式方程 注：直线的四种方程本质上都是由两个平面方程联立得到， 四种方程之间可以相互转化。 例1 将下面直线的一般方程化为对称式方程、参数方程及两 点式方程。 例2 一直线过点A(2,-3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程。 解 所以交点为B(0,-3,0) 因为直线与y轴垂直相交， 由两点式写出方程。 定义 两直线的方向向量的夹角称为两直线间的夹角（锐角）。 L1 : 两直线的夹角公式 1. 两直线间的夹角 L2 : 2. 两直线的位置关系： 例3 判定下列直线间的位置关系。 （1） 和 （2） 和 （1） 和 平行 垂直 定义 直线L和它在平面π上的投影直线的夹角 称为直线L与平面π的夹角。 四、直线与平面的相互关系 S r 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系： 例4 求过点(-3,2,5)且垂直于平面2x-y-5z=1的直线方程。 解 例5 求过点(-3,2,5)且与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行的 直线方程。 解 (-3,2,5) 解 作过点M且与直线L垂直的平面： 令 例6 求过点M(2,1,3)且与直线L： 垂直相交的 直线方程。 关键：求出交点坐标 M(2,1,3) 代入平面方程得 ， 求得交点 所求直线方程为 L 解 课堂练习 课堂练习解答 课堂练习 课堂练习解答 直线与坐标面xoy、yoz都平行, 则直线方程应为： 故当m=0、n≠0、p=－6 时结论成立。 课堂练习另解 且有 故当m=0、n≠0、p=－6 时结论成立。 1. 平面点集、邻域、内点、开集、边界点、边界、闭集、连通 连通的开集称为区域或开区域。 第一节　多元函数基本概念 例如： 例如： 开区域连同它的边界一起称为闭区域 。 有界集、无界集 无界开区域。 例如： 聚点 2. n 维空间、 n 维空间中两点间距离公式、 n 维空间中邻域等 n元函数 二元函数 例１ 求　　 的定义域。 求定义域 解 二、多元函数的概念 二元函数的图形通常是一张曲面 几何意义 例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 单值分支: 三、多元函数的极限 例2 求证 证明 定义（略） 例3 求极限 解 例4 求 解： 又 此函数定义域 不包括 x , y 轴 例5 讨论函数 在(0,0)的连续性。 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在。 故函数在(0,0)处不连续。 四、多元函数的连续性 确定多元函数极限不存在的方法： 又如, 函数 上间断。 在圆周 例6 证明 不存在。 证明 令 其值随k的不同而变化， 故极限不存在。 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次。 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次。 （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 * * * *