10考研高等数强学化讲义(第五章)全.docVIP

第五章 向量代数与空间解析几何 §5.1 向量代数 （甲）内容要点 一、空间直角坐标系 二、向量概念 坐标 模 方向角 方向余弦 三、向量运算 设 1．加（减）法 2．数乘 3．数量积（点乘）（i）定义 （ii）坐标公式 （iii）重要应用 4．向量积（叉乘）（i）定义 与和皆垂直，且构成右手系 （ii）坐标公式 （iii共线 5．混合积（i） （ii）坐标公式 （iii）表示以为棱的平行六面体的体积 口诀（36）：点乘为零判垂直；叉乘为零是平行；混合积为零共面；体积就加绝对值。 （乙）典型例题 例1．点到过的直线之间的距离 例2．点到所在平面的距离 因为四面体的体积 而 又 例3．过点与过点的异面直线之间的距离 因为 §5.2 平面与直线 （甲）内容要点 一、空间解析几何 1．空间解析几何研究的基本问题。 （1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程， （2）已知坐标和间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。 2．距离公式 空间两点与间的距离为 3．定比分点公式是的分点：，点的坐标为，，则 当为中点时， 二、平面及其方程 1．法（线）向量，法（线）方向数。 与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。 2．点法式方程 已知平面过点，其法向量，则平面的方程为 或 其中 3．一般式方程 其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量特别情形： ，表示通过原点的平面。 ，平行于轴的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 4．三点式方程 设，，三点不在一条直线上。则通过的平面方程为 5．平面束 设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中 6．有关平面的问题 两平面为 法向量 与间夹角 （就是与之间夹角） （即） 垂直条件 平行条件 重合条件 7．设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离： 三、直线及其方程 1．方向向量、方向数 与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。 2．直线的标准方程（对称式方程）。 其中为直线上的点，为直线的方向数。 3．参数式方程： 4．两点式 设，为不同的两点，则通过和的直线方程为 5．一般式方程（作为两平面的交线）： 6．有关直线的问题 两直线为 方向向量 与间夹角 （就是与之间夹角） （即） 垂直条件 平行条件 四、平面与直线相互关系 平面的方程为： 法向量 直线的方程为： 方向向量 与间夹角 （） 与垂直条件 与平行条件 与重合条件 上有一点在上 （乙）典型例题 例1．求通过和直线的平面方程。 解：通过的所有平面的方程为 其中为任意实数，且不同时为。 今把代入上面形式的方程得 由于方程允许乘或除一个不为的常数，故取，得，代入方程得