南航《矩阵论》第4章l矩阵的因子分解.ppt

* 第4章 矩阵的因子分解 4.1 初等矩阵 4.2 满秩分解 4.3 三角分解 4.4 QR分解 4.5 Schur定理与正规矩阵 4.6 奇异值分解 4.1 初等矩阵 4.1.1 初等矩阵 4.1.2 初等下三角矩阵 4.1.3 Householder矩阵 4.1.1 初等矩阵 定义4.1.1 设 ，σ为一复数，如下形式的 矩阵 称为初等矩阵. 定理4.1.1 初等矩阵E(u,v,σ)具有如下性质： 4.1.2 初等下三角矩阵 称为初等下三角矩阵, 即 对初等下三角矩阵，当i j 时，有 用初等下三角矩阵Li左乘一个矩阵A，等于从A的 第 k 行减去第 i 行乘以 。 对于 ，如果 ，取 4.1.3 Householder矩阵 取u = v = w, σ=2，并且w是单位向量，即 ||w|| =1，初等矩阵 称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。 并且若上述条件成立，则使H(w)a = b 成立的单位向 量w可取为 其中θ为任一实数。 定理4.1.2 Householder矩阵H(w)具有如下性质： 4.2 满秩分解 定理4.2.1（满秩分解定理）设 m×n 矩阵 A的秩为r0, 则存在 m×r 矩阵B 和 r×n 矩阵 C 使得 并且rank(B) = rank(C) = r. 什么是矩阵的满秩分解？ 矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩 分解是否唯一？ 如何计算矩阵的满秩分解？ 满秩分解有什么应用？ 满秩分解的应用： 有关结论的证明。 计算广义逆矩阵。 4.3 三角分解 设A = (aij)是n 阶矩阵，如果 A 的对角线下(上)方 的元素全为零，即对i j, aij = 0（对i j,aij = 0），则 称矩阵 A 为上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角 矩阵统称为三角矩阵。对角元全为1的上（下）三角 矩阵称为单位上（下）三角矩阵。 什么是矩阵的LU分解？ 矩阵的LU分解是否存在？如果存在， LU分解 是否唯一？ 如何计算矩阵的LU分解？ LU分解有什么应用？ 上（下）三角矩阵的性质 定理4.3.1（LU分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩 阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩 阵U使得 的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零, 即 定理4.3.2（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵, 则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵 D=diag(d1, d2,…,dn )和单位上三角矩阵U使得 的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即 ，并且 分解式 称为矩阵A的LDU分解。 一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵， A未必 能作LU分解和LDU分解。 定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)， 以 为列作成的矩阵 称为 n 阶 排列矩阵，其中 是1,2,…n的一个排列。 定理4.3.3 设 A是 n 阶非奇异矩阵，则存在排列 矩阵P 使得 其中L是单位下三角矩阵, 是上三角矩阵，U是 单位上三角矩阵，D是对角矩阵。 排列矩阵的性质。 排列矩阵的作用。 LU分解的应用： 求解线性方程组。 求解矩阵特征值问题。 4.4 QR 分解 定理4.4.1 设 A是 n 阶非奇异实（复）矩阵，则 存在正交（酉）矩阵 Q 和非奇异实（复）上三 角矩阵 R使得 且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角 矩阵因子外分解式（4.4.1）是唯一的。 什么是矩阵的QR分解？ 矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解 是否唯一？ 如何计算矩阵的QR分解？ QR分解有什么应用？ 定理4.4.3 设A 是 矩阵，且 ， 则存在 m 阶正交（酉）矩阵 Q 和 行满秩矩 阵 R使得 或A有分解 定理4.4.2 设 A 是 实（复）矩阵，且其n 个 列向量线性无关，则存在m 阶正交（酉）矩阵Q 和 n阶非奇异实（复）上三角矩阵R使得 QR分解的应用： 求解线性方程组。 求解矩阵特征值问题。 求解线性最小二乘问题。 *