南航《矩阵论》第2章线线性映射与性变换.ppt

教学目的 掌握线性映射的定义 熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质， 掌握矩阵可对角化的条件 理解酉空间的概念 掌握酉空间与实内积空间的异同。 注3 矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与m?n矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。 即对V 中的任意两个向量?，?和任意k?P，映射（未必是双射）A ：V?V 满足 (i) (可加性):A (?+?)=A (?)+A (?) (ii) (齐次性):kA (?)=A (k?) 称A (?)为?在变换A 下的像，? 称为原像。 V上的全体线性变换记为：L (V, V) 特殊的变换：对任意的k∈P定义数乘变换K（x）=kx，恒等变换：I（x）=x，零变换：O (x)=0 证: （1）|?I-B|=|?I-P-1AP|=|P-1(?I-A)P|=|P-1||(?I-A)||P|=|?I-A| 另：66页例2.4.5的结论： m阶方阵AB与n阶方阵BA有相同的非零特征值，从而有tr(AB)=tr(BA)；特别地，若A，B为同阶方阵，则AB与BA有相同的特征值. 两类矩阵的关系： Givens矩阵（变换）等于两个初等反射矩阵（变换）的乘积。 即反射变换比旋转变换更基本。 作业:P78: 3(1)(3),6(2), 9,13,16,21. 解： 这里标准基 在线性变换 下的矩阵表示为 矩阵A的特征值为 属于2的特征向量为p1=(1，1，1)T 属于-1的两个线性无关的特征向量为 p2=(-1，1，0)T p3=(1，0，-1)T,所以 使得 P-1AP=? 因此所求基为 显然可以验证线性变换 满足 注 鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。Householder变换（即反射变换）和Givens变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们的作用主要是在数值算法中构造正交基。 根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中向量的长度、距离及向量间的夹角等几何属性不变。 补充：两种基本的图形变换 例1（旋转变换或Givens变换）将线性空间 中的所有向量均绕原点顺时针旋转角 ，这时像 与原像 之间的关系为 例2（反射变换或Householder变换）将 中任一向量x 关于横轴做反射得向量y。这时像(x2,y2) 与原像 (x1,y1)之间的关系为 从几何上看，图形经过旋转变换或反射变换后只是位置改变了，形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交变换。 将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的正交变换： 一般形式的Givens矩阵为： 第j 列 第i 列 对应的变换称为Givens变换，或初等旋转变换。 定理 　对任意 ，存在有限个Givens矩阵的乘积 ，使得 其中 为标准单位向量。即通过有限次Givens变换可以将向量旋转到某个坐标轴上。 Givens变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零n维向量，通过有限次Givens变换，可将其后任意r 个分量变为零，特别地，r=n-1时，得 如图，显然有正交分解 因此向量 关于“与 轴正交的直线”对称的镜像向量的表达式为 再看HouseHolder变换 因而， 设　在 　　　下的矩阵为B，则 （2）求　在　　　　下的矩阵. 定义2.3.3 设D 是数域 P上的线性空间 上的线性变换 。令 R(D )=Im(D)={D( a)|a?V} Ker(D )=N(D)={a?V|D ( a)=0} 称R(D )是线性变换D 的值域，而Ker(D )是线性变换的核。R(D )的维数称为D 的秩，Ker(D )的维数称为D 的零度。 定理2.3.2 设D 是数域 P上的线性空间V上的线性变换 。令D 在V的一组基?1,?2,…?n下的矩阵表示为A，则 （1）Im(D )和Ker(D )都是V的子空间； （2）Im(D )=span(D (?1),D (?2),…D (?n)) （3）rank(D )=rank(A) （4）dim(Im(D ))+dim(Ker(D ))=n 证明（1）显然R(D )是V的非空子集，对任意D(?),D(?)? R(D )，k?P 有 D(?)+D(?)=D(?+?)? R(D )