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初中几何热点问题探究 一 几何作图及操作探究问题 这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、几何设计问题．这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知识，以达到动手动脑的目的．解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等实践活动过程，利用已有的感知与发现结论从而解决问题.关键是要学生学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题，适合现有的知识水平和实践能力． (一)几何作图题 1、尺规作图题 例 （2007南京）已知直线l及直线l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留作图痕迹. ⑴在图1-1中，只用尺规在直线l上画出两点B、C,使得点A、B、C是一个等腰三角形的三个顶点； ⑵在图1-2中，只用圆规在在线l外画出一点P，使得点A、P所在直线与直线l平行. 解析 ⑴画法一：以A点为圆心，大于A点到直线l的距离为半径画弧，与直线l交于B、C两点，则点B、C即为所求.（如图1-3） 画法二：在直线l上取一点B，以B为圆心，AB的长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B、C即为所求.（如图1-4） ⑵画法：在直线l上任取B、C两点，以A为圆心，BC的长为半径画弧，以C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点P，则点P即为所求.（如图1-5） 评点：本题利用尺规作图，作等腰三角形和平行线，方法比较新颖，既考查了学生的作图能力，更考查了学生对原理的分析理解能力.第⑴问作等腰三角形要注意有两种情况，而第⑵问过直线外一点作已知直线的平行线则是利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定方法．熟悉一种基本作图，并能运用规范的语言对步骤进行描述是作图题的基本技能. 练习：（2006锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是：画线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，AC长为半径画弧，交AC和延长线于点D，连接BD，则△ABD就是直角三角形. ⑴请你说明其中的道理； ⑵请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为300（不写作法，保留作图痕迹）. 2、格点作图 例1 如图2-1，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请作出∠AOB的平分线. 解析 在正方形网格中找到适当的格点，利用网格中有些线段的端点在格点上，可以计算线段的长度，从而利用三边相等证明两个三角形全等，再得到角相等.如图3-2在正方形网格中找到P1，P2，P3这三个点，作射线OP，射线OP即为所求. 评点：本题利用格点作图，作一个角的角平分线，方法新颖，思路巧，考查了学生对角平线原理的分析理解能力以及解题方法和技巧上的创新能力.正确利用格点作图要充分运用好网格中隐含的平行、垂直、特殊关系的角以及相等的线段和线段的长，处理好网格中计算. 例2 如图，在一个“10×10”的正方形DEFG网格中有一个△ABC． ⑴在网格中画出△ABC向下平移三个单位得到的△A1B1C1； ⑵在网格中画出△ABC绕C点逆时针方向旋转900得到的△A2B2C； ⑶若以EF所在的直线为x轴,ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,写出A1,A2两点的坐标. 　　 图4-1 图4-2 解析　 ⑴图形平移时,图形上的每个点都平移相同的距离,如图4-2中所示△A1B1C1;⑵图形旋转过程中,各部分都旋转相同的角度,如图4-2中所示△A2B2C;⑶平面直角坐标系如图4-2所示,易知:A1(8,2),A2(4,9). 评点:平移、旋转的简单作图多以网格和坐标系为背景，借点的坐标的变化引起图形的变化．因此，画平移、转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据相应顶点的平移方向、平移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种“以局部代整体”的作图方法是平移和旋转作图是最常用的方法． 练习　1.（2007宁波）　　 2. 在如图6所示的平面直角坐标系中，已知△ABC．(1)将△ABC向x轴负半轴方向平移4个单位得到△A1B1C1，画出图形并写出点A1的坐标； (2)以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出图形并写出点A2的坐标； (3) △A2B2C2可以看作是由△A1B1C1先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到的．除此之外，△A2B