初中数学平面几轴何对称变换习题教案.docVIP

几何变换-轴对称变换提高题 【知识提要】 1. 如果已知平面上直线和一点，自点作的垂线，垂足设为，在直线上、的另一侧取点，使得，如图所示，我们称点是点关于直线的轴对称点，或者说点与点关于直线为轴对称，其中称为对称轴. 2. 图形的每一点关于直线的对称点组成的图形，称为关于轴的轴对称图形.把一个图形变为关于直线的轴对称图形的变换，叫作轴对称变换(或反射变换)，直线称为对称轴(反射轴). 3. 我们容易想到，一条线段关于它的垂直平分线为轴对称图形，一个角关于它的角平分线为轴对称图形.在几何证题或解题时，如果图形是轴对称图形，则经常要添加对称轴以便充分利用轴对称图形的性质；如果图形不是轴对称图形，往往可选择某直线为对称轴，补为轴对称图形，或将对称轴一侧的图形反射到该直线的另一侧，以实现条件的相对集中. 4. 在几何问题中有两种常用而比较普遍的对称图形，它们是轴对称图形和中心对称图形.利用对称性解题是解决几何问题的有效方法之一，本讲重点讲解轴对称图形. (1) 轴对称变换：把一个图形变为关于某一直线为对称轴的轴对称图形，这种变换称为轴对称变换.在几何图形中，如果是轴对称图形，则常添加对称轴，以充分利用对称的性质.如等腰三角形、等腰梯形的对称轴可以应用三线合一等；对于正方形、菱形，经常添加对角线等. (2) 中心对称变换：把一个图形绕着一个定点按一定方向、一个角度旋转而得到另一个图形，这种变换称为旋转变换.特殊地，当旋转角为时，称为中心对称变换.平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.在对称变换下，可使某些相关元素相对集中，为充分运用已知条件、转化结论提供方便. 【例题精讲】 【例1】中，由点向边引高线，垂足落在上，如果，求证：. 【1】为对称轴翻折到的位置，则在上，，，. 在中，根据外角定理可知， 所以， 故. 【2】为对称轴翻折到的位置， 则， 从而. 进而， 而(由“翻折”的特点决定)， 故. 【】，即. 注意到， 故， 即， 亦即， 故. 【】给了我们太多的联想！我们不妨回忆一下第4讲、第5讲、第10讲，看看是否还有其他解法(比如延长至，使). 【例2】中，，，求证：. 【】，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出角. 以为对称轴将翻折到的位置，连接. 则， ， 故为等边三角形. 从而， 等号成立时平分. 【】3届英国数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，，、为的两条高，求证：. 【】改写为，可形成下面的思路： 的平分线记为，作点关于的对称点，作点关于的对称点，过点作的垂线，因为，， 而， 故. 【】 . 注意到，，， 故. 而由、. 【3】中，，，，，，求四边形的面积. 【】的面积有困难，注意到，我们以的垂直平分线为对称轴，作的关于的轴对称图形，从而可以将角度集中. ，，，， 所以， 因此，是直角三角形. 由勾股定理求得. 在中，，，. 而. 由勾股定理的逆定理可知. . 【】中，,.如果厘米，求四边形的面积. 【】边上的中垂线为对称轴作的轴对称图形， 则，，， 故、、共线. 又因为， 由可知， 而， 故. 因此，是等腰直角三角形. 故. 【例4】1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题) 已知点是四边形的边的中点，且,证明：. 【】，，三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段比较.要实现这一构想，折线之首端应与点重合，尾端应与点重合，这可由轴对称来实现. 以为对称轴，作点关于的对称点，连接、， 则，，即≌，由此. 再以为对称轴，作点关于的对称点，连接、， 则，，即≌，由此. 而，所以. 注意到， 因此， 而，所以是等边三角形，. 由于两点之间以直线段为最短，所以， 即. 【】2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 设是凸四边形的边的中点，，求证：. 【】关于的对称点，作点关于的对称点， 连接、、， 则， 且，. 而， 则， 故. 【】2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，的平分线交于点，已知，且，求的各个内角. 【】是角平分线提示我们可以进行“翻折”. 将点翻折到的位置，且在的延长线上， 且，，. 延长至点，使， 则， 故， 从而， 则， 故为等边三角形. 故，. 【】中，，，，的平分线交于，求之长. 【】平分，因此这就提供了以为轴进行对称变换的可能性. 取的中点，连接，交于，易知与关于对称，且. 由于，，所以. 延长至，使，连接交的