3平面问题的高阶单元讲解.ppt

3.1 四结点矩形单元 (PLANE42) (1) 位移模式选择：两个，每个四项， (2) 形函数计算 在式（3-1）中代入结点位移和结点坐标后，可解出待定系数。将这些系数再代入式（3-1），可得形函数： (3) 单元应变 (4) 单元应力： (5) 单元刚度矩阵 把[B]、[D]代入上式，整理后可得： (6)等效结点荷载 单元的体积力和表面力引起的结点力仍可用式（1-36）和（1-37）进行计算。由于位移分量在x为常数及y为常数的直线上是线性变化的，因此，载荷向结点的分配也符合静力等效的原则。 (7) 整体平衡方程 根据各单元的刚度矩阵[k]、等效结点力列阵，按对号入座的方式叠加组装整体刚度矩阵和结点荷载列阵，从而得到整体平衡方程： 3.2 六结点三角形单元(PLANE2) 1、位移模式 在三角形单元i、j、m的各边中点上，各增设一个结点，使每个单元具有6个结点，则得到图示的六结点三角形单元。这种单元具有12个自由度，可以采用完全二次多项式的位移模式： 收敛条件：所取位移模式反映了单元的刚体位移和常应变。另外，在单元边界上位移分量是按抛物线变化的，而每条公共边界上有3个公共结点，正好可以保证相邻两单元位移的连续性。因此，上述位移模式满足收敛的完备协调性条件。 根据假定的位移模式，按照前面的方法和过程，可以确定形函数[N]、应变矩阵[B]、应力矩阵[S]、单元刚度矩阵[k]、等效结点荷载列阵{f}，然后组装总刚和荷载列阵。但是，过程非常复杂。采用采用面积坐标可以大大简化计算。 2、面积坐标 三角形单元ijm中，任一点P（x,y）的位置，可以用如下的三个比值来确定： （1）面积坐标与直角坐标的关系 三角形Pjm的面积为 （2）面积坐标的导数公式 根据面积坐标与直角坐标的关系，由复合函数的求导公式，有 （3）面积坐标的积分公式 在三角形单元上进行积分时，有 在三角形某一边（设边ij，边长l 为）上进行积分时，有 3. 六结点三角形单元计算公式 (1)形函数：对于六结点三角形单元，形函数可用面积坐标表示为 可以利用形函数的性质检验式（3-29）的正确性 。 （在i点等于1，在其他结点等于0 ，见下） 形函数检验 （2）单元位移、应变及应力 （3）单元刚度、等效结点荷载 单元重力引起的等效结点力： 它表示各边中点承担单元重力的1/3。 它表示边中点承担2/3，载荷集度大的角结点承担1/3。 六结点三角形单元中的应变、应力不为常量，因此可以应用于应力梯度较大的地方，精度较高。 但其计算复杂。 3.3 四结点四边形等参数单元PLANE42 1、 等参数单元的概念 四结点矩形单元难以应用于斜线边界。而四结点任意四边形单元容易适应这种边界，但采用整体坐标表示的位移函数将不能满足位移协调条件，并且在计算[k]、[p]e时不容易确定积分的上、下限。 为了解决这个矛盾，可以通过坐标变换将xy坐标系下的任意四边形单元变换成另一个坐标系ξη下的矩形单元。这样，矩形单元位移函数式 就能用于ξη下的基本单元。 选择坐标变换式： 通过这一变换，两单元的点具有一一对应的关系。对于变换后的基本单元，取位移模式： 2、单元的特性分析 采用类似四结点矩形单元的特性分析，可以建立单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵、结点力向等的计算公式。但要将对整体坐标x，y的导数计算和积分计算转换为对局部坐标ξ，η的微分和积分计算。 单元应变： 由于Ni是ξ，η的函数， ξ，η是x，y的函数，根据复合求导规则，有： 式中[J]称为雅可比矩阵： 由上式可得： 应力矩阵： 单元刚度矩阵是一个8×8的矩阵 ，仍为 3、等效结点力计算 （1）体积力：设单元的体积力为(pvx，pvy),则 4、高斯（Gauss）积分 在计算单元刚度矩阵和结点载荷向量式时，由于被积函数比复杂，一般很难直接积分求出，通常采用数值积分。基本思路是：在单元上选择某些特征点（积分点），求出被积函数在这些积分点上的数值，然后用一些权函数乘这些函数值，最后求和就可得到近似积分值。有限元分析中，最常用的高斯数值积分法。下面作简单介绍。 一维高斯积分公式 二维高斯积分公式 式中积分点和权函数仍按上表采用。 3.4 八结点四边形等参数单元 四结点四边形等参数单元仍然不够理想。原因是：（1）实际单元为直线边界，不能准确拟合物体的曲线边界；（2）位移模式的阶次还不够高，影响计算精度。为此，下面介绍一种精度较高、应用广泛的八结点四边形形等参数单元。其实际单元和基本单元如下图所示。 1、基本单元的位移模式 2、坐标变换式 仿照位移模式，将坐标变换式取为 3、单元分析 单元特性分析与结点力计算过程与上节四结点等参数单元完全相同，具体公式形式也一致