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3流体运动学讲解
3.1 描述流体运动的两种方法 拉格朗日法 欧拉法 欧拉法中流体运动的基本概念 3.2 流体运动的连续性方程 二、有旋流动和无旋流动 流体的流动是有旋还是无旋,是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中,如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动,则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动,则称为无旋流动。 这里需要说明的是,判断流体流动是有旋流动还是无旋流动,仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定,而与流体微团的运动轨迹无关,虽然流体微团运动轨迹是圆形,但由于微团本身不旋转,故它是无旋流动;虽然流体微团运动轨迹是直线,但微团绕自身轴线旋转,故它是有旋流动。 在日常生活中也有类似的例子,例如儿童玩的活动转椅,当转轮绕水平轴旋转时,每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动,但是每个儿童始终是头向上,脸朝着一个方向,即儿童对地来说没有旋转。 判断流体微团无旋流动的条件是:流体中每一个流体微团都满足 则有 四、速度环量 涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。 2、斯托克斯(G. G. Stokes)定理 例1 一个以角速度 ω 按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动,如图所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量,并证明它是有旋流动。 解: 在流场中对应于任意两个半径r1和 r2 的圆周速度各为 和 ,沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量 可见,在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积 于是 上式正是斯托克斯定理的一个例证。 以上结论可推广适用于圆内任意区域内。 例2 一个流体绕o点作同心圆的平面流动,流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比,即 ,其中C为常数,如图示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量,并分析它的流动情况。 解:沿扇形面积周界的速度环量 可见,在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内,例如 。若包有圆心, 该处速度等于无限大,应作例外来处理。现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量 上式说明,绕任何一个圆周的流场中,速度 环量都不等于零,并保持一个常数,所以是 有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何 圆周的速度环量必等于零,故在圆心O点处必 有旋涡存在,圆心是一个孤立涡点,称为奇 点。 当封闭周线内有涡束时,则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。 斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单连通区域、空间曲面。 图 有旋流动中速度环量的计算 图 无旋流动中速度环量的计算 流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。 体积流量( ): 质量流量(kg / s): 平均流速——是一个假想的流速,即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过,这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。 八、流量和平均流速 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质,它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下,当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时,可以断定:若在某一定时间内,流出的流体质量和流入的流体质量不相等时,则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化,以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间;如果流体是不可压缩的,则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程,称为连续性方程。 一、流体的连续性微分方程 dt时间内x方向: 同理: dt时间内,控制体总净流出质量: 由质量守恒:控制体总净流出质量,必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量,即 连续性微分方程 可压缩流体非恒定三维流动的连续性方程 可压缩流体恒定三维流动的连续性方程 ρ=con
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