3采样过程的数学描述及特性分析计算机控制系统电子科技大学讲解.ppt

School of Automation Engineering 第三节采样过程的数学描述及特性分析 School of Automation Engineering 第三讲 采样过程的数学描述及特性分析 一 采样过程的一般概念 二 采样信号的时域描述 三 采样信号的频域特性 四 采样定理及其相关讨论 一 采样过程的一般概念 采样器 即采样开关 采样时间 p 采样开关每次合上的时间，即采样脉冲的宽度 采样周期 T 采样开关相邻两次闭合之间的间隔时间（s） 采样频率 fs fs ＝ 1/T (Hz) 采样角频率 ?s ?s ＝ 2? fs ＝ 2? /T （rad/s） 理想采样过程 当 p 相对于T 很小 0 时，近似认为采样是瞬时完成的，即认为 p ? 0 ，这种采样过程称为理想采样过程。 均匀采样 整个采样过程中采样周期不变 非均匀采样 采样过程中采样周期是变化的，可视为多种均匀采样的叠加。 随机采样 采样周期是随机变化的 二 采样信号的时域描述 定义离散脉冲信号 2. 理想采样开关的数学描述 理想采样开关具有瞬时合上并断开的功能，只让采样时刻的输入信号通过，因此可用单位脉冲序列来描述 O t 3. 采样信号的时域描述 采样信号 f *(t) 是连续信号 f(t) 经过理想采样开关而获得的输出信号，即 f(t) f *(t) T t ?T(t) 脉冲幅度调制器 f(t) f *(t) t O f(t) t O f *(t) 对于大多数情况，f (t) 在 t 0 时等于零，这样，理想采样信号的时域表达式可写为： 三 采样信号的频域特性 1. 采样信号的频谱表达式 周期函数 ?T (t) 展开为傅氏级数的复数形式，有 其中 即有 采样信号可表示为 对上式作傅氏变换 其中F ( j?）为被采样函数 f (t) 的傅氏变换，即 上式即为采样信号的频谱表达式 由采样信号的频谱表达式可知，采样信号的频谱 F *(j?)与被采样信号的频谱 F (j?) 有十分密切的关系。 2. 采样信号的频域特性 ? O -?m ?m ? O ?s ? O ?s ?s2?m ?s＝2?m ? O ?s ?s2?m 采样信号的频谱 连续信号的频谱 结论 当k＝0时， F *(j?) ＝ F (j?) /T，称为采样信号的基本频谱，它正比与原连续信号的频谱，幅值为原频谱的1/T ； 当k? 0时，将派生处以?s为周期的高频频谱分量，称为旁带 ； 若连续信号的频谱带宽有限，最高频率为?m ， 而采样频率?s ? 2 ?m ，则采样后派生出的高频频谱和基本频谱不会重叠；反之，当频率?s 2 ?m 时，则各频谱之间就会出现混叠现象。 四 采样定理及其相关讨论 1 频率混叠现象 采样信号的频谱包含基本频谱 及派生的高频频谱分量，如果这些频谱分量是相互分离的，则可通过一个理想滤波器去掉所有的高频频谱，保留基本频谱，并放大 T 倍，即可获得与连续信号的频谱； ? O ?s ?s2?m 如果周期性频谱分量互相交叠，则采样信号的频谱与原连续信号的频谱发生很大的差别，以致无法从采样信号中获得原连续信号的频谱，这就是所谓频率混叠现象 ； ? O ?s ?s2?m 频率混叠现象发生在以下两种情况下： 情况一： 当连续信号的带宽有限， ?m 为信号中的最高频率，如果采样频率 ?s 2 ?m ，则采样信号会产生频率混叠现象； ? O ?s ?s/2 上图中， ?s /2 是一个关键频率点，若连续信号的最高频率超过这个频率，则混叠现象必然发生，该频率称为折叠频率，也称为奈奎斯特（Ngquest）频率 ，一般用 ?N 表示。 情况二： 若连续信号的频谱时无限带宽的，此时无论怎样提高采样频率，频率混叠现象或多或少都将发生。 2 采样定理——香农（Shannon)定理 若连续信号是有限带宽的，且它所含的频率分量的最大值为 ?m ，当采样频率 ?s ? 2 ?m 原连续信号完全可以用其采样信号来表征，即采样信号可以不失真地恢复原连续信号。 3 假频现象 当采样频率不满足采样定理时，采样信号就不可能无失真地反映原连续信号的特性，如果采样间隔内丢失的信息太多， 采样的结果看起来就像一个低频信号，即产生假频现象； fmax：信号中