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4-带有等式约束的最优化问题及其经济学应用讲解
第 4 章带有等式约束的最优化问题及其经济学应用 §4.1 带有等式约束的函数求 极值的必要和充分条件 一、二元函数带等数约束的极值问题 二、多元函数带多个等数约束的极值问题 §4.2 拟凹函数与拟凸函数 一、拟凹函数与拟凸函数的定义 §4.2 拟凹函数与拟凸函数 1. 一元拟凹函数和拟凸函数的定义 对于一元函数 y = f(x) 的定义域(凸集)中的任意点 u 和 v ,假设 f(v) ≥ f(u) 。如果对于任意的 t ∈[0, 1],有: f[(1 – t)u + tv] ≥ f(u),则称 f 为拟凹的 f[(1 – t)u + tv] ≤ f(v),则称 f 为拟凸的 在 u ≠ v 且 t ∈(0, 1) 的情况下,如果上两式是严格 或 ,则称 f 为严格拟凹的或严格拟凸的。 §4.2 拟凹函数与拟凸函数 2. 多元拟凹函数和拟凸函数的定义 设 F 是定义在凸集 U Rn 上的 n 元函数,如果对于任意的 x, y ∈U 和任意的 t ∈[0, 1],有: F[(1 – t)x + ty] ≥ min{F(x), F(y)},F 拟凹 F[(1 – t)x + ty] ≤ max{F(x), F(y)},F 拟凸 在 x ≠ y 且 t ∈(0, 1) 的情况下,如果上两式是严格 或 ,则称 F 为严格拟凹的或严格拟凸的。 §4.2 拟凹函数与拟凸函数 二、可微函数拟凹和拟凸性判断 1. 一阶微分判别准则 对于一元可微函数 f(x) ,任取其定义域内两个不同的点 u 和 v ,假设 f(v) ≥ f(u) ,则: f(x) 拟凹的充要条件为 f (u) (v – u) ≥ 0 f(x) 拟凸的充要条件为 f (v) (v – u) ≥ 0 当 ≥ 变为 时,即严格拟凹或拟凸。 §4.2 拟凹函数与拟凸函数 对于多元可微函数 F(x) ,其中 x = (x1, x2, …, xn),任取函数 F(x) 定义域内两个不同的点 u = (u1, u2, …, un) 和 v = (v1, v2, …, vn) ,假设 F(v) ≥ F(u) 。 F(x) 拟凹的充要条件为 u F(x) 拟凸的充要条件为 v 其中: , 。 §4.2 拟凹函数与拟凸函数 2. 二阶微分判别准则 设 F 是定义在开凸集 U Rn 上的二阶可微函数,令: §4.2 拟凹函数与拟凸函数 F 是拟凹的必要条件为 (-1)k∣Ck(x)∣≥ 0 拟凹的充分条件为 (-1)k∣Ck(x)∣ 0 F 是拟凸的必要条件为∣Ck(x)∣≤ 0 拟凸的充分条件为∣Ck(x)∣ 0 若U Rn+ ,对于严格拟凹和严格拟凸成立。 §4.2 拟凹函数与拟凸函数 三、拟凹函数和拟凸函数的性质 1. 若 f(x) 为拟凹函数,则 –f(x) 为拟凸函数; 若 f(x) 为拟凸函数,则 –f(x) 为拟凹函数。 2. 任意的凹(凸)函数均为拟凹(拟凸)函数, 但反之不一定成立。 3. 若 f(x) 为线性函数,则它既是拟凹又是拟凸的。 §4.2 拟凹函数与拟凸函数 4. 对于任意常数 k ,如果集合 S = {x∣f(x) ≥ k}为 凸集,则 f(x) 是拟凹函数;若 S = {x∣f(x) ≤ k} 为凸集,则 f(x) 是拟凸函数。 证明:f(x, y) = xy(x 0, y 0)为拟凹函数。 §4.2 拟凹函数与拟凸函数 四、拟凹函数和拟凸函数的最优化 max z = f(x1, x2, …, xn) s.t. gi(x1, x2, …, xn
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