MDSP第四章维纳滤波和卡尔曼滤波讲解.doc

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 引言 2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波 2.1 引 言 在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度地抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理中经常遇到的问题。换句话说，信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里，我们只考虑加性噪声的影响，即观测数据是信号与噪声之和（如图2.1.1所示），即 我们的目的是为了得到不含噪声的信号，也称为期望信号，若滤波系统的单位脉冲响应为（如图2.1.2所示），系统的期望输出用表示，应等于信号的真值；系统的实际输出用表示，是的逼近或估计，用公式表示为，。因此对信号进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将看作是一个估计器，也就是说，信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么，采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。所得到的估计，在通信中称为波形估计；在自动控制中，称为动态估计。 假若已知，要估计当前及以后时刻的信号值，这样的估计问题称为预测问题；若已知，要估计当前的信号值，称为过滤或滤波；根据过去的观测值，估计过去的信号值，称为平滑或内插。维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的过滤或预测问题，并以估计的结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最佳准则。 维纳滤波是在第二次世界大战期间，由于军事的需要由维纳提出的。1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式。采用谱分解的方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的，因此人们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。 早在20世纪40年代，开始有人用状态变量模型来研究随机过程，到60年代初，由于空间技术的发展，为了解决对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，卡尔曼提出了递推最优估计理论。它用状态空间法描述系统，即已知前一状态的估计值和最近一个观测数据，采取递推的算法估计当前的状态值。由于卡尔曼滤波采用递推法，适合于计算机处理，并且可以用来处理多维和非平稳随机信号，现已广泛应用于很多领域，并取得了很好的结果，但它只是维纳滤波的一种算法。卡尔曼滤波已经出现，就受到人们的很大重视，并在实践中不断丰富和完善，其中一个成功的应用是设计运载体的高精度组合导航系统[5]。 前面讲到，维纳滤波和卡尔曼滤波都是采用最小方差估计，即采用最小均方误差准则（MMSE，Minimum Mean Square Error）。一般来讲，均方误差准则对大误差抑制能力强，而对小误差不敏感。 下面我们首先介绍维纳滤波的时域和复频域的求解方法，然后介绍维纳预测、特别是纯预测问题的求解，最后介绍卡尔曼滤波的内容。 2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解 设计维纳滤波器的任务，实际上就是选择，使其输出信号与期望信号误差的均方值为最小，即维纳滤波器是一个均方误差最小准则下的最小滤波器。维纳滤波最初是对连续时间信号以模拟滤波器的形式出现的，尔后才有离散形式，这两种形式解决问题的思路是基本一致的。在这里我们只讨论离散维纳滤波器，模拟维纳滤波器的设计以习题的形式出现，共大家练习。假设滤波系统是一个线性时不变系统，它的单位脉冲响应和输入信号都是复函数，设定 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以得到滤波器的输出, 设期望信号为，误差信号及其均方值分别为 要使均方误差为最小，须满足 这里，表示；同理，可以用分别表示。由于误差的均方值是一标量，因此（2.2.5）式是一个标量对复函数的求导问题，它等价于 记 则2.2.6)式可以写为 将2.2.8)式展开 又根据2.2.1)~(2.2.3)式 将2.2.10)～2.2.1