12年数学建模美国赛叶子的重量.doc

2012A Cassify Leaf Shape and Estimate for Leaf Mass Abstract 本文主要从四方面建立模型解决问题。针对第一问我们主要应用相关聚类分析，首先从24个方面对树木进行一级聚类，然后针对聚类后的树木类别再分别从8个方面对该样本树木的树叶进行二级聚类分析，这样我们便从数学角度说明了叶子为什么会具有各种形状。 针对第二问我们主要应用叶序和叶镶嵌理论研究叶子的分布和叶子形状之间的联系，根据前人已经证明了的植物的叶片在其实际的镶嵌角下，覆盖面积最大，达到一个最大曝光率的生长模式这一结论，我们通过网格数计算出下层树叶偏转不同角度后它的光合作用面积，在计算出总的光合作用曝光率，从而求出最佳曝光率, 根据最佳的面积曝光率对比树叶的排列，二者存在相关性。 针对第三问，主要研究树形与叶形的相关性，在这里我们指定3个指数，分别就叶形指数1、2和树形指数进行最小二乘法的函数回归，研究结果发现二者呈现负相关的趋势。 针对第四问，在前面我们已经对叶子的形状进行了分类，故在建立面积估算的模型时，我们能找到一个具有代表性的叶子进行分析，同时我们考虑到同一棵树叶子的年龄结构，密度，大小的因素，建立了求单片叶片质量的权重函数，然后主要采用插值和积分的思想，求出单片叶片的面积，然后利用基于L系统的植物建模改进方法估算参数，结合单片叶片的质量，从而计算出所有叶片的质量。 Key words：因子分析 R型聚类分析 线性回归 叶序和叶镶嵌理论 基于L系统的植物模型 Problem backgrounds(introduction) 叶片有多种多样的形状，例如针形、披针形、椭圆形、条形、扇形等。叶是暴露在空气中表面积最大的器官，和外界环境的接触面积也是最大的，因此，外界环境条件对叶片的形态结构有明显的影响，在进化过程中适应不同的生态环境，形成多种生态类型的叶。 树木的生长需要能量，获得能量主要是靠他们的叶子。树叶在白天进行光合作用，积累有机物。叶子数量的增加，有利于有机物的积累和树木的生长。但叶子数量的增加叶子重叠的阴影将会增大，叶面积指数降低，从而减小光合作用对有机物的积累并且增加了呼吸作用对于有机物的消耗。因此在长期影响下，树木会在叶子数量和叶面积指数两方面达到一种均衡。树叶的形状不全是为了使重叠的树荫最小化，从而使日光照射最大化，而是为了达到最优化的目标。 粗壮的枝能够承受较大的压力，离分支节点越远的分枝越短越细。分枝越细，能承受的叶子重量越小，叶片越小。离地面同一高度上同一等级分枝节间长度越大，树叶的形状越大。离地面低的分枝上的叶子与它同一等级的分枝的叶子相比，由于光照强度弱，故为了增强光合作用叶片较大。因此，树叶在树上和树枝上的分布会影响树叶的形状。 基于这样的生物学背景（叶片与树木的关系密切相互影响），我们建立数学模型来完成下列题目： “一棵树的叶子有多重?”怎么能估计树的叶子（或者树的任何其它部分）的实际重量?怎样对叶子进行分类?建立一个数学模型来对叶子进行描述和分类。 模型要考虑和回答下面的问题： ·为什么叶子具有各种形状？ · 叶子之间要是将相互重叠的部分最小化，以便可以最大限度的接触到阳光吗？树叶的分布以及树干和枝杈的体积影响叶子的形状吗？ ·就轮廓来讲，叶形（一般特征）是和树的轮廓以及分枝结构有关吗？ ·你将如何估计一棵树的叶子质量？叶子的质量和树的尺寸特征（包括和外形轮廓有关的高度、质量、体积）有联系吗？) Problem analysis 通过阅读完题目后，我们将问题划分为四个小问题去解决： ·对不同形状的叶子进行分类 ·研究叶子的分布和叶子形状之间的联系 ·研究树的轮廓和叶子的形状之间的联系 ·计算所有叶子的质量 针对问题一，首先我们从生物学的角度考虑到，不同物种的树叶有多种多样的形状，是环境长期影响的结果，如果直接从叶结构的指标入手对叶形进行分类，过程将相当繁琐。在这里我们采用两次聚类，分别涉及到样本树木本身对叶形的影响和叶结构对树木的影响。我们首先就24个指标对样本树木进行分类，分析聚为一类的样本树木的叶片特点，然后针对每一类样本树木的叶片的8项指标进行二级聚类，根据聚类结果，我们进行分析总结；针对问题二和三，主要是从研究两方面事物的相关性入手，研究叶子的分布和叶子形状之间的联系时主要采用叶序和叶镶嵌理论；研究树的轮廓和叶子的形状之间的联系时，我们主要借助一些描述树的轮廓和叶子的形状的参数进行先处理后拟合，从而从图表中观察相关性；针对问题四，我们先从一个标准叶片入手，利用插值和积分求出单个叶片的面积，同时应用基于L系统的植物建模改进方法，然后分析相关系数来推算叶片的个数，从而计算出树叶的总质量。 Assumptions ·在相同的