复数的三角形式与指数形式要点.ppt

* 初等数学专题研究 第四讲 复数的三角形式与指数形式 4.1复数的三角形式 4.2复数的指数形式 4.3复数的应用 在中学，我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。 在《大学数学》中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析；同样，在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题，这就是大学数学本科（或研究生）专业里一门必修课《复变函数》 因此我们有必要对复数了解得更多些。 本讲讲三个问题 4.1、复数的三角形式 一、复数的幅角与模 我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b)，也对应复平面上一个向量（如右图所示） 这个向量的长度叫做复数a+bi的模，记为|a+bi|，一般情况下，复数的模用字母r表示。 x y 同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为幅角，记为arg(a+bi)，幅角一般情形下用希腊字母θ表示。 显然 把它们代入复数的代数形式得： 4.1、复数的三角形式 这样，我们把 叫做复数a+bi的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。 所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。 1、复数的乘法 设 那么 4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 1、复数的乘法 这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加 即 这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角θ2，就得到z1z2。 4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 2、复数的除法 4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 2、复数的除法 即 这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减 这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模缩小为原来的r2分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角θ2，就得到z1÷z2。 3、复数的乘方。 利用复数的乘法不难得到 这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。 4、复数的开方 对于复数 ，根据代数基本定理及其推论知，任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。 将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角nθ，就得到zn。 4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 3、复数的乘方。 这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 设 的一个n次方根为 4、复数的开方 4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 那么 所以 即 显然，当k从0依次取到n－1,所得到的角的终边互不相同，但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。 因此，复数z的n个n次方根为 4、复数的开方 4.1、复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差 所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的n次算术根为半径的圆周上。 因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下面的几何手段进行： 先作出圆心在原点，半径为 的圆，然后作出角 的终边 以这条终边与圆的交点为分点，将圆周n等分，那么，每个等分点对应的复数就是复数z的n次方根。 4.2、复数的指数形式 在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加） 这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现： 对数函数与指数函数 前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。 从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些： 4.2、复数的指数形式 根据这个特点，复数 应该可以表示成某种指数形式 即复数应该可以表示成 的形式 这里有三个问题需要解决： （1）反映复数本质特征的三个因素：模r、幅角θ、虚数单位i应各自摆放在什么位置？ （2）在这些位置上它们应呈现什么形态？ （3）作为指数形式的底应该用什么常数？ 先来研究第一个问题. 4.2、复数的指数形式 再重新观察下面的等式 首先，显然模r应该占据 中系数y的位置, 其次，幅角θ应该占据 中指数x的位置, 对于虚数单位i，如果放到系数y的位置会怎样？ 由于 等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。 因此幅角θ也应