2连续时间信号与系统的时域分析.doc

第2章 线性时不变连续系统的时域分析 2.1 学习要求 （1）了解微分方程的建立与求解； （2）掌握初始条件的确立方法； （3）熟练掌握零输入响应与零状态响应； （4）熟练掌握冲激响应和阶跃响应的建立与意义； （5）熟练掌握卷积积分及其性质； （6）了解相关的概念和性质。 2.2 学习重点 （1）冲激响应的概念及其计算； （2）零输入响应和零状态响应的概念及其求解方法； （3）卷积积分的概念及其性质。 2.3知识结构 2.4 内容摘要 2.4.1系统微分方程的建立 电路系统中，常用元件的电压电流关系如下： 电阻： 电感：， 电容：， 2.4.2 系统微分方程的求解 系统微分方程的解可分两部分：齐次解和特解。 （1）齐次解 齐次解满足齐次方程 的解，其解的形式为函数的线性组合。 特征根各不相同时，齐次解为 当特征根有重根时，如有重根，则响应于的重根部分将有项，形如 当特征根有一对单复根，即，则微分方程的齐次解  当特征根有一对重复根，即共有重的复根，则微分方程的齐次解 （2）特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关，如表2.4.1。 表2.4.1 与几种典型类型激励函数对应的特解 激励函数 响应函数的特解 (常数) 注:表中、、是待定系数。 2.4.3起始点的跳变：从到状态的转换 （1）当系统用微分方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项 （2）可以用冲激函数匹配法确定、等状态，见习题2.3的解答。 2.4.4系统的零输入响应与零状态响应 （1）零输入响应 系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。 零输入响应是满足齐次方程 及起始状态的解,它是齐次解的一部分 由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变，，所以中的常数可由确定。 （2）零状态响应 所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状态为零，即 这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应。 零状态响应由起始状态为零时的方程 所确定。 系统的零状态响应为 其中和分别为齐次解和特解。 （3）系统的线性 系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和。 零输入线性，即零输入响应与起始状态之间满足线性特性。 零状态线性，即零状态响应与激励之间满足线性特性。 2.2.5连续时间系统的冲激响应与阶跃响应 （1）冲激响应 系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。 在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。 因果系统的冲激响应为， （2）阶跃响应 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应 阶跃响应与冲激响应之间的关系为 或 2.2.6 卷积积分 （1）卷积积分的定义 （2）卷积积分的图解法 用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号和的卷积运算可通过信号的翻褶、移位、乘积和积分得到。具体如下： （1）变量转换：， （2）翻褶： （3）移位： （4）乘积： （5）积分： 见习题6.12题(4)、(6)小题的解法 （3）卷积运算的性质 交换律： 结合律： 分配律： 与冲激信号的卷积： 与冲激偶的卷积： 与阶跃信号的卷积： 卷积的微分与积分 如果，则有 ； 。 （4）用卷积积分法求系统的零状态响应 对于任一时刻系统的零状态响应为 2.2.7 相关 （1）互相关 能量有限信号 功率有限信号 互相关性质：。 （2）自相关 能量有限信号： 功率有限信号： 自相关性质： 时，相关性最强，最大。 余弦函数的自相关仍为余弦 （3）卷积与相关的关系 2.5典型例题 例2.1、已知系统微分方程为，若，，解得全响应为，t≥0。全响应中为（ ） （a）零输入响应分量 (b)零状态响应分量 (c)自由响应分量 (d)稳态响应分量 答案：（d） 分析：响应中不含齐次解，所以答案(a)(b)(c)都不是 例2.2、两线性时不变系统分别为S1和S2，初始状态均为零。将激励信号先通过S1再通过S2，得到响应；将激励信号先通过S2再通过S1，得到响应。则与的关系为_________________。 答案： 分析：该题是考查级联系统的交换率：两线性时不变系统级联时，交换级联顺序保持不变 例2.3、计算，其中“*”表示卷积。 解： 例2.4、已知信号和如图2.5.1所示