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7由面积产生的函数
1.7 由面积产生的函数关系问题
例1 2013年菏泽市中考第21题
如图1, △ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
图1
思路点拨
1.求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标,点B的坐标由点C的坐标得到,点D的坐标由AD=BC可以得到.
2.设点P、Q运动的时间为t,用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来.
3.四边形PDCQ的面积最小,就是△APQ的面积最大.
满分解答
(1)由,得A(0,3),C(4,0).
由于B、C关于OA对称,所以B(-4,0),BC=8.
因为AD//BC,AD=BC,所以D(8,3).
将B(-4,0)、D(8,3)分别代入,得
解得,c=-3.所以该二次函数的解析式为.
(2)①设点P、Q运动的时间为t.
如图2,在△APQ中,AP=t,AQ=AC-CQ=5-t,cos∠PAQ=cos∠ACO=.
当PQ⊥AC时,.所以.解得.
图2 图3
②如图3,过点Q作QH⊥AD,垂足为H.
由于S△APQ=,
S△ACD=,
所以S四边形PDCQ=S△ACD-S△APQ=.
所以当AP=时,四边形PDCQ的最小值是.
考点伸展
如果把第(2)①题改为“当P运动到何处时,△APQ是直角三角形?”
除了PQ⊥AC这种情况,还有QP⊥AD的情况.
这时,所以.解得(如图4所示).
例2 2012年广东省中考第22题
如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
思路点拨
1.△ADE与△ACB相似,面积比等于对应边的比的平方.
2.△CDE与△ADE是同高三角形,面积比等于对应底边的比.
满分解答
(1)由,得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).
所以AB=9,OC=9.
(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.
所以.
而,AE=m,
所以.
m的取值范围是0<m<9.
图2 图3
(3)如图2,因为DE//CB,所以.
因为△CDE与△ADE是同高三角形,所以.
所以.
当时,△CDE的面积最大,最大值为.
此时E是AB的中点..
在Rt△BEH中,.
当⊙E与BC相切时,.所以.
考点伸展
在本题中,△CDE与△BEC能否相似?
如图2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE与△BEC不能相似.
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