2014年洞四口中数学竞赛试题.doc

2014年洞口四中数学竞赛试题 数 学（理科） 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次。设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 4．将函数的图像向左平移个单位长度后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是 A．B．C．D． 5．已知 ，则双曲线 A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 6．已知点A（-1,1）、B（1,2）、C（-2,1）、D（3,4），则向量和方向上的投影为 A． B． C． D． 7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是 A． B． C． D． 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为下面两个简单几何体均为多面体，则有 9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)= A． B． C． D． 11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。 （1）直方图中x的值为___________； （2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。 12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=___________。 13．设，且满足：则___________。 14．古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为，记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 …………………………………………………………….. 可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=_________________。 二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框图用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲） 如图，圆上一点若 . 16.（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直线坐标系中，椭圆的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴为正半轴 为极轴）中，直线与圆的极坐标分别为若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为 . 三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 在 （I）求角的大小； （II）若 18.（本小题满分12分） 已知等比数列满足： （I）求数列的通项公式； （II）是否存在正整数使得若不存在，说明理由. 19.（本小题满分12分） 如图，是圆的直径,点上异于的点，直线 （I）记平面并加以说明； （II）设（I）中的直线记直线异面直线所成的锐角为，二面角 20.（本小题满分12分） 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 求的值； （I）（参考数据：若） （II）某客运公司用两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每年每天往返一次，两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆。若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 21.（本小题满分13分） 如图，已知椭圆长轴均为短轴长分别为过原点且不与轴重合的直线与从大到小依次为记 （I）当直线与轴重合时，若 （II）当变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线，使得 22.（本小题满分14分） 设为正整数，为正有理数. （I）求函数 （II）证明： （III）设记不小于的最小整数，例如 令 （参考数据：）