《常微分方程》课程试题(A卷)答案.doc

中国海洋大学 2008-2009学年 第一学期 期末考试试卷（Ａ）答案 一、选择题 1、B 2、B 3、B 4、C 5、A 二、判断题 1、 2、√ 3、√ 4、( 5、( 三、填空题 1、； ． 2、 ; 是的连续. 3、 4、, 其中是任意常数. 5、个线性无关的解; 无穷多 四、简答题 1、解：由于，有积分因子， 求得通解. 2、证明：考查函数项级数 (1) 其部和是， 因此只须证函数项级数(1)在上一致收敛．由的表示式 由李普希兹条件及上式，有 假设对于正整数，有不等式 则由李普希兹条件，当时，有 由数学归纳法知，对一切正整数K，皆有 . 又由于，有，从而 (2) (2)式右端恰是收敛的正项级数的一般项，由M一判别法，函数项级数(1)在. 故函数序列在上一致收敛. 类似地可以证明在上一致收敛. 3、解：(1)求的通解由特征方程，，其通解为 (2)用待定系数法求非齐方程的解． 设，，代入，比较两端，系数，得 ， 所以，故非齐通解． 4、证明 令 ③ 则③是对应齐线性方程组的解组，并且可以证明是线性无关的． 事实上，假设③是线性相关的，则存在一组不全为零的常数 即 这表明有一组不全为零的常数使上式成立，这与 是线性无关的题设矛盾，因此③是线性无关的． 对的任一解，必是对应齐线性方程组的解．又因为③是对应齐线性方程组的基本解组，必存在一组常数，使得 即 即 ． 反之，若，对于 因为是对应齐线性方程组 也是对应齐线性方程组的解是的方程组的 是方程组的解． 五、综合题 1、解：火车的质量是，，速度为，加速度为，根据牛顿第二定律，有．整理，得到路程s应 ．． 代入初始条件：当时，，，得 ，． 故火车的运动规律为 ． 　　２、解：，，，求对应的齐次方程组的基解矩阵为 ，有 得　 故所求的初值问题解为 ＝． 1