人口增长模型的确定.doc

第1套 人口增长模型的确定 姓名：李露 专业: 信息与计算科学 姓名：刘珊 专业: 水利水电工程 姓名：翟文延 专业： 能源与动力工程 提交日期: 2016.6.30 摘要 3 二、问题分析 4 三、问题假设 4 四、变量说明 4 五、模型建立 5 （1）指数增长模型 5 （2）阻滞增长模型 5 六、模型求解 6 （1）指数增长模型的求解 6 （2）阻滞增长模型的求解 6 七、结果分析 6 （1）指数增长模型 6 （2）阻滞增长模型 8 具体数据 8 八、参考文献 10 九、附录 10 程序1 10 程序2 10 人口增长模型的确定 摘要 人口预测为社会经济发展规划提供重要信息，预测的结果可以帮助制定正确的政策，对一个国家的发展有着重要意义。 进行短时间的预测时，可以假设年增长率保持不变，建立指数增长模型，并利用最小二乘拟合的方法根据已知数据确定模型中的相应参数。 当对较长的一段时间进行预测时，就不能假设人口增长率保持不变，而需要考虑到环境对人口的容纳能力并建立阻滞增长模型，利用最小二乘拟合的方法确定相应参数。 关键字：指数增长模型 阻滞增长模型 微分方程 参数估计 最小二乘拟合一、问题重述 （1）利用所给数据建立马尔萨斯人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量。 （2）查阅相关数据，对模型进行改进并对比分析前后预测结果。 二、问题分析 第一问需要建立人口指数增长模型，利用所给数据确定相应参数，并预测接下来的人口数量。 第二问需要查阅相关数据，对建立的模型进行改进，得到更加准确的模型，并对比分析前后结果。 三、问题假设 假设人口自然增长，不考虑以下因素的影响： 1．不考虑自然灾害等突发意外因素的影响 2．不考虑年龄、性别分布对人口增长造成的影响 3．不考虑国家政策等人为因素对人口造成的影响 四、变量说明 符号 意义 初始人口 t时刻人口 指数增长模型的年增长率 固有增长率，人口很少时(理论上x=0)的增长率 阻滞增长模型的年增长率 环境最大容纳人口数量 五、模型建立 （1）指数增长模型 在较短时间内假设年增长率保持不变，可以列出常微分方程 （1） 利用分离变量法解得 （2） （2）阻滞增长模型 由于自然环境的影响、资源的制约，人口数量不可能无限制的增长，人口增长速率随着人口数目的增加而减小。 （3） 假设r（x）为x的线性函数 （4） 为环境能容纳的最大人口数量，由可得 （6） （7） 分离变量解得 （8） 六、模型求解 （1）指数增长模型的求解 可以将变形为利用最小二乘拟合的方法求得及 （2）阻滞增长模型的求解 将 （9） 变形为 （10） 利用最小二乘拟合求得及 七、结果分析 （1）指数增长模型 图一利用拟合的直线和t-lnx曲线的对比 图二求解所得函数与原始数据点的对比 由上图可以看出在随着t的变大，指数增长模型的增长速度过快 （2）阻滞增长模型 图三阻滞增长模型和原始数据之间的对比 具体数据 年份 人口(百万人) 指数增长模型 误差 阻滞增长模型 误差 1790 3.9 5.398 -1.498 3.900 0.000 1800 5.3 6.686 -1.386 5.163 0.137 1810 7.2 8.281 -1.081 6.825 0.375 1820 9.6 10.257 -0.657 9.004 0.596 1830 12.9 12.705 0.195 11.851 1.049 1840 17.1 15.737 1.363 15.546 1.554 1850 23.2 19.492 3.708 20.308 2.892 1860 31.4 24.143 7.257 26.387 5.013 1870 38.6 29.904 8.696 34.052 4.548 1880 50.2 37.040 13.160 43.570 6.630