《数值逼近》_复习_学生版.doc

数值逼近考试范围 1 数值逼近作业 1 提高篇 6 第一套参考试卷 6 第二套参考试卷 7 练习试题 8 数值逼近考试范围 参考资料：做的习题、以及附录中3套自测题 考试时要求带计算器。闭卷。 数值逼近作业 作业：课本P25：16，17，19 1．序列满足递推关系。若,(3位有效数字)，计算到时误差有多大？计算过程稳定吗？（参考作业P25：19题） 解：由得误差满足 又知， 从而 又知 依此类推： ，... 最终 计算到时误差为，这个计算过程不稳定。 作业1：用拉格朗日和牛顿方法计算：课本P61：4，5 1． 当x=1,-1,2时f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解： 则二次拉格朗日插值多项式为 2．给出f(x)=ln(x)数值表如下 x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln(x) 用线性插值和二次插值计算ln(0.54)的近似值，并估计误差。 解：采用线性插值法计算即，则 基函数： 线性插值： 插值： 若采用二次插值法计算时， 二次插值： 插值： 误差：自己做一下。 3. 求次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足。 提示：方法有 1、方程组法，最简单。假设；代入条件得5个方程，求解 。 2、牛顿差商法，难度中等。建立差商表，注意导数应作为重节点处理。 3、拉格朗日方法，复杂，但看上去专业。 4. 给定数据(此题要求：掌握思路) X 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 y 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 求3次样条插值函数满足： 提示： 计算： 计算： 计算： 计算： 得方程组：，解得 将代入得课本P73（3.9）得： 作业3：逼近与拟合 1．选取参数a，使得达到最小。 解题思路：此题可以用最小零偏差定理做。注意：区间必须[-1,1] 令,因为在上为奇函数，所以(此时已经转到区间[-1,1]上了) 又的最高次项系数为1，且为3次多项式。 与0的偏差最小。即，解得有。 2. 求f(x)=sinx在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。(此题练习) 类似题目：课本P103例1 3．求f(x)=|x|在[-1,1]上关于span{1,x2,x4}的最佳平方逼近多项式。 解：定义若，且，则 得法方程组为解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 4. f(x)=sin(?/2)x在[-1,1]上按勒让德多项式展开求3 次最佳平方逼近多项式。 解：按勒让德多项式展开，先计算： 再计算 从而的三次最佳平方逼近多项式为 5. 观察物体的直线运动，得出下列数据： t/秒 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 s/米 0 10 30 50 80 110 求运动方程。(注：线性拟合) 解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 ，令， 则 则法方程组为从而解得 故物体运动方程为 作业5 积分 1. 确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高。 解：参见课件。 2. 分别用T和S计算积分：； 解： 复化梯形公式为: 复化辛普森公式为: (2) 同理计算，特别注意：三角函数要用弧度计算。 4. 辛普森公式计算积分，并估计误差。 解：=… 误差： 6. 若用复化梯形公式计算，问区间[0,1]等分多少才使得误差？ 若用复化辛普森公式计算，问区间[0,1]等分多少才使得误差？ 解：采用复化梯形公式：，若，则解得 ，当对区间进行等分时，故有，因此，将区间213等分时可以满足误差要求。 采用复化辛普森公式： 解得，当对区间进行等分时故有，因此，将区间4等分时可以满足误差要求。 7 用Romberg公式计算积分 T S C R 0 0.7717433 1 0.7280699 0.7135121 2 0.7169828 0.7132870 0.7132720 3 0.7142002 0.7132726 0.7132717 0.7132717 因此 第7章作业 2、为求在1.5附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式: (1) ,迭代公式; (2) ,迭代公式; (3) ,迭代公式. 试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根. 解 取的邻域[1.3,1.6]来考察. (1)当时,计算，在邻域[1.3,1.6]上的最大值M=…,最小值m=…, 再计算，在邻域[1.3,1.6]上的最大值M=… 有： 故迭代公式在[1.3,1.6]上整体收敛. (2)当时