三角函数图象.doc

三角函数的图象和性质 一、知识梳理 1.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出. 2.正弦曲线与余弦曲线的关系 我们知道y=cosx=sin(+x)(x∈R)，由此可知，余弦函数y=cosx的图象与正弦函数y=sin(+x)(x∈R)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图象. 3.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期. 4.正弦、余弦、正切函数的性质 函数性质 y=sinxy=cosx y=tanx 一 周 期 简 图 定义域R R {x|x≠+kπ,k∈Z} 值域［-1，1］［-1，1］R 周期2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 增区间 ［+2kπ, +2kπ］(k∈Z) ［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z) (+kπ, +kπ)(k∈Z) 减区间［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)［2kπ,2kπ+π］(k∈Z)无 对称性 对称中心(kπ,0)(k∈Z) (kπ+,0)(k∈Z) (k,0)(k∈Z) 对称轴x=kπ+ (k∈Z) x=kπ(k∈Z) 无 y=Asin(ωx+φ)的图象 用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω＞0)的图象时，关键是五个点的选取.一般可设X=ωx+φ，由X取0, ,π, ,2π来求相应x的值及对应的y的值，再描点作图. 也可采用下列方法简化作图：函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω＞0)的图象在一个周期内的五点横向间距必相等，为.于是五点横坐标依次为x1=,x2=x1+,x3=x2+这样不仅可以快速求出五点坐标,也可以在x1的位置后,用圆规截取其他四点,从而快速准确作出图象. y=Asin(ωx+φ)的图象 1.相位变换 y=sinx图象→y=sin(x+φ)图象. 2.周期变换 y=sinx图象→y=sinωx图象. 3.振幅变换 y=sinx图象→y=Asinx图象. 4.当函数y=Asin(ωx+φ)〔A＞0,ω＞0,x∈(0,+∞)〕表示一个振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期. y=Asin(ωx+φ)可以这样得到：y=sinx图象y=sin(x+φ)图象 y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)图象. 考点一 求三角函数的周期 例题1 求下列三角函数的周期. （1）y=sin(x+);（2）y=3sin(+)⑶y＝)；⑷y=|sinx| 思路分析：⑴⑵⑶小题运用周期函数的定义即可.⑷小题可运用图像法 ②求含有绝对值符号的三角函数的周期常用图像法 课堂训练题 求下列函数的最小正周期. （1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(). 考点二 三角函数的奇偶性 例2006江苏高考卷，1已知α∈R，函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数，则a的值为（ ） A.0B.1 C.-1 D.±1 思路析：解法1：由题意可知f(x)=-f(-x),得a=0. 解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,解得a=0. 解法3：由f(x)是奇函数图象法画出f(x)=sinx-|a|,x∈R的图象. ：对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称. 若函数f(x)为奇函数f(-x)=-f(x)y=f(x)的图象关于原点对称. 若函数f(x)为偶函数f(-x)=f(x) y=f(x)的图象关于y轴对称. 训练2009北京高考卷，文2函数y=1+cosx的图象（ ） A.关于x轴对称B.关于y轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x=对称 ⑴y=；⑵y=;⑶y=. 解：⑴显然，函数的定义域为R.∵f(－x)==－f(x),∴函数为奇函数. ⑵∵sinx－1≥0，∴sinx=1，x=(k∈Z). 函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数。 ⑶∵1－cosx≥0且cosx－1≥0，∴cosx=1，x=2kπ(k∈Z).此时，y=0，故该函数为既奇又偶函数. 考点三 三角函数的单调性 例 比较下列各组中四个值的大小： （1）sin1,sin2,sin3,sin4; (2)cos1,cos2,cos3,cos4.思路分析：转化到同一单调区间再比较.要判断函数值的大小，函数的单调性.??，??∈(0，)，且??＞??，则( ) A．sin??＞sin? ? B．sin??＜sin?