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专题二 振动与波 一、简谐运动 1、简谐运动动力学定义：= －k 凡是所受合力和位移满足上式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。 谐振子的加速度：= － 【例1】如图所示，三根长度均为L = 2.00m地质量均匀直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。杆AB是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。 2、简谐运动的运动学方程 位移方程： = Acos(ωt + φ) 速度方程： = －ωAsin(ωt +φ) 加速度方程：= －ω2A cos(ωt +φ) 运动学参量的相互关系：= －ω2，A = 可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。 3、简谐运动的周期 由= －ω2、= －k可得：ω= ，即有T = 2π 【例2】一质量为ｍ、边长为a的正方形木块，放在水面上静止（平衡），如图所示，此时木块浸入水中的深度为d0。今用力向下将其压入水中一段深度后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判别木块的振动是否为简谐振动并求出其振动周期。 即时训练：轻弹簧的劲度系数为k，一端固定在侧壁上，质量为m的物体与桌面间的摩擦力为f，以速度v0开始压缩弹簧，以后又被反向弹回并能压缩弹簧，设物体从压缩弹簧到速度为0所需时间为t1，再从速度为零到离开弹簧时间为t2，求t1/t2的值 4、简谐运动的能量 一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即 = mv2 + kx2 = kA2 注意：振子的势能是由（回复力系数）k和（相对平衡位置位移）x决定的一个抽象的概念，而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量。 5、典型的简谐运动 a.弹簧振子 【例3】如图所示，三角架质量为Ｍ，沿其中轴线用两根轻弹簧拴一质量为ｍ的小球，原来三角架静止在水平面上，现使小球做上、下振动，已知三角架对水平面的压力最小为零，求： （1）此时小球的瞬时加速度； （2）若上、下两弹簧的劲度系数均为ｋ，则小球做简谐振动的振幅为多少． （3）求M从恰对地面无压力到压力最大所经历的的时间。 b.单摆 【例4】如图所示，在一辆静止的小车内用长为L的轻绳静止悬挂着一个小钢球，当小车突然获得水平方向的大小为a的加速度后（a＜g），试描述小球相对小车的运动。 即时训练：某秋千两边绳子不等长，且悬点不等高，相关数据如图所示，且有a2 + b2 = + ，试求它的周期（认为人的体积足够小）。 二、机械波 1、机械波的波动方程 如果一列简谐波沿x方向传播，振源的振动方程为y = Acos（ωt + φ），波的传播速度为v ，那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是 y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕 这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t ，都有一个y（x）的正弦函数，在x-y坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕为波动方程。 【例5】一平面简谐波向?x方向传播，振幅A = 6cm ，圆频率ω= 6πrad/s ，当t = 2.0s时，距原点O为12cm处的P点的振动状态为yP = 3cm ，且vP ＞ 0 ,而距原点22cm处的Q点的振动状态为yQ = 0 ，且vQ ＜ 0 。设波长λ＞10cm ，求振动方程，并画出t = 0时的波形图。 2、波的干涉 a．波的叠加。几列波在同一介质种传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的区域则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。 b.波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。 我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如图所示，我们用S1和S2表示两个波源，P表示空间任意一点，P到S1和S2的距离分别为r1和r2。有 r2 ? r1 = kλ时（k = 0，±1，±2，…），P点振动加强，振幅为A1 + A2 ； r2 ? r1 =（2k ? 1）时（