北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案.doc

北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设是定义在非空集合上的集代数,则下面正确的是 .A （A）若,则; （B）若,则; （C）若,则; （D）若,且,则. 2. 设为一可测空间，为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A）若,则； （B）若,且，则； （C）若，则； （D）若,且，. 3.设为从概率空间到Borel可测空间上的实可测函数，表达式为，其中，则 ；若已知，则 . 4. 设二维随机变量的概率密度 则= .2/3 5. 设随机过程，其中随机变量服从参数为的指数分布，为常数，则（1）的概率密度 ；（2） . 6. 设是参数为的维纳过程，令，则相关函数 . 7. 设齐次马氏链的状态空间为,一步转移概率为 则（1） ；（2） . 1/2,2 二. 概率题（共30分） 1.(10分) 设的概率密度为 , 令, （1）求的概率密度；（2）求的边缘概率密度. 解解.（1） 解方程得 所以雅可比行列式, 故 ……5分 （2）对， , 故 ……10分 2.（10分）设的概率密度 （1）求，其中（2）. 解 的边缘概率密度为 所以条件概率密度 ……4分 （1） ……7分 （2）因为，所以。 ……10分 3.（10分）设独立同分布，均服从两点分布，即，令，（1）求Y的特征函数；（2）求. 解: （1）因为Y服从二项分布，所以Y的特征函数 ……5分 （2） ……10分 三.随机过程题（共40分） 1. （10分）设是参数为的泊松过程，即满足： (1) (2) (3)对. 也是参数为的泊松过程，且与 独立，令，（1）求；（2）求. 解：因为是参数为的泊松过程，所以 （１） ……5分 　　 （２） ……10分 2. （10分） 设是平稳过程，是其谱密度函数，（1）证明：对于任意的，是平稳过程；（2）求的谱密度. 解 （1）, 与无关，则是平稳过程。 ……5分 （2） . ……10分 3. （10分）设齐次马氏链的状态空间为，一步转移概率矩阵为 　　　　， 初始分布为, 求 (1) 和; (2) 的分布律. 解 (1) ……６分 (2) ……10分 4.（10分）齐次马氏链的状态空间为，一步转移概率矩阵为 确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布. 解. （1）链可分, {1，3}{4}是不可分闭集, 状态空间 ……2分 （2） 周期 . ……4分 （3） 设平稳分布为,则 解之得,其中. ……7分 （4） 所以1,3,4正返态,其余都不是常返态，又因为 ，所以都为非常返态。 ……10分 7