华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答.doc

华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答 2006.11 系别___________班级__________学号__________姓名___________ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，共24分） 1．的值为，主值为?. 2．；且所表示的平面点集是区域吗？??是?，单连域还是多连域？?单连域?。 3．?0?。 4．在映射下，集合的像集为： ?.???????????? 5．为的?1??阶极点。 6．在?处展开成Taylor级数的收敛半径为?. 7．的频谱密度函数?。 8．已知，其中，则。 得分 评卷人 二、（6分）设a、b是实数，函数在复平面解析，则分别求a、b之值，并求. 解：是复平面上的解析函数，则在平面上满足C—R方程，即： ????????????? 故??对?成立， ??????? ?????????????? 得分 评卷人 三、（8分）验证是z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使. 解：（1）?故是调和函数。 （2）利用C—R条件，先求出的两个偏导数。 ???????? 则???? ????????????????? ????????????????? ?????? ????????????? ????????????? 由?? 故?? 得分 评卷人 四、（6×4=24分）计算下列各题： 1．，设C为正向圆周。 解：令?，则由高阶求导公式得： ??????原式 2．，C为正向圆周。 解:??在C内，有本性奇点，由留数定理：原式 ???????在?内将?展为Laurent级数： ??????? ?????????????? ???????故： ?????????????? 3． 解：由于是偶函数，故 ???????原式??令? 则定积分可化为复积分 ?????? 令??则?在?内有2个简单极点与 ?????????????? ???????由留数定理知： ???????故原式 4． 解：令?????容易验证满足若尔当引理 在上半平面有两个简单极点? ??????? ?????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????? ??????????????原式 得分 评卷人 五、（10分）将在处展成Laurent级数。 解：在复平面有孤立奇异点与， ???????（1）时， ??????? ???????（2）?时 ??????? ???????（3）?时 ??????? ?????????????? ???????（4）?时 ??????? 得分 评卷人 六、（6分）试求z平面的下半平面在分式线性映射下的象区域. 解：在实轴上依次取， ?????????????? ?????????????? ?????????????? ???????由分式线性映射的保圆性知： ??????????????决定了 ???????故??实轴在?下的象区线为单位圆周，再由边界对应原理知：在下的象区域为。 得分 评卷人 七、（8分）求一保形映射，把区域?映成单位圆内 部。 解： ??????? 得分 评卷人 八、（8分）用Laplace变换求解常微分方程： 解：令?，对方程两边求拉氏变换得： ??????? ??????? ?????????????? ?????????????? 得分 评卷人 九、（6分）证明题：设在内解析，在上连续， 试证：当时，? 证：令? ???????因为?在??内解析，在?上连续，所以也在内解析，在上连续。根据Cauchy积分公式有： ???????