导数的应用一要点.ppt

第三章 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 导数的应用 例：某药厂年产量为a个单位，分若干批生产， 每批生产准备费为b元。若平均库存量为批量 的一半，设每年每单位的药品库存费为c元。如何选择批量，才能使生产准备费与库存费之和为最小。 设每批生产x个单位，库存费+准备费=y。年产量为 a，每年生产批数为a/x(整数)，准备费为b·a/x，库存量为x/2，库存费为c·x/2,因此 因为函数的最小值一定存在，且在(0,a)内只有一个驻点，故y有最小值。 例: 例: l h R θ 设圆桌面的半径为R,在桌面中心的上方挂一电灯.已知其照度为 问电灯距桌面多高时,才能使桌面 边缘照得最亮. h R r R E r 二、曲线的凹凸与拐点 1、曲线的凹凸性 定义2：若曲线位于它上面任一点切线的上方，则曲线是上凹的(concave)。 若曲线位于它上面任一点切线的下方，则曲线是上凸的(convex)。 x y A B C D 上凸 上凹 定理五（凹凸判断法） 设函数f(x)在(a,b)内有二阶导数f’’(x),则在该区间内 （1）当f’’(x)0时，曲线是上凹的； （2）当f’’(x)0时，曲线是上凸的。 例3-20 p48 2、????曲线的拐点 拐点(inflection point)：连续曲线的凹与凸的分界点。判断方法： （ （1）求函数f(x)的二阶导数f’’(x)=0的根或不。存在的点。若f’’(x)在根x0两侧符号不同，则((x0 ,f(x0))就是函数y=f(x)的拐点。(2)求出f’’(x)=0所有的点，按大小排列，考察各区间f’’(x)的符号，比较根两边的符号变化，寻找拐点。 例：p49 例3-21、3-22 拐点 F’’(x)=0 三、曲线的渐近线 例：p51 例3-23 四、函数图形的描绘 1、确定函数y=f(x)的定义域。 2、确定函数y=f(x)的对称性。 3、确定曲线与坐标轴的交点。 4、一阶导数确定单调区间和极值。 5、二阶导数确定凹凸区间和拐点。 6、考察渐近线。 7、补充一些适当的点，列表，绘图。 例：p51例3-24至3-27 第五节 函数展为幂级数 一、用多项式近似表示函数（用简单函数代替 复杂函数，函数在一点附近的近似值） 在微分应用近似计算中得到： x0 (x0,f(x0) M f(x) p1(x) 提高近似度，用二阶多项式近似 n次多项式： 为f(x)的n阶近似，即 例：p55 例3-30 例：求近似式 二、常用的几个函数的幂级数展开式 1、幂级数 称为无穷级数，简称级数。第n项un称为通项。 数项级数—每一项都是常数的级数。 函数项级数—每一项都是变量的级数，即 幂级数—上述的函数项级数称为幂级数。 2、幂级数展开式 在x=0附近可以用多项式来代替函数f(x),即 n越大,近似度越高。当n无限增大时，多项式 变成了幂级数。 若上式成立，为f(x)在点x=0处的幂级数展开式 * 导数的应用 第一节 中值定理 罗尔定理(Roll) : 定理1 若函数 f(x) 满足: 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) f(a)=f(b). 则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f’(ξ)=0 证明: p37 几何意义: x y o a b ξ A B C 导数的应用 拉拉格朗日(Lagrange) 中值定理：定理2：若函 函数 y=f(x) 满足：（1）?在闭区间 [a,b]上连续（2）?在开区间 (a,b) 内可导．则在开区间 (a,b) 内至少存在一点ξ ，使 可写成： 几何意义：曲线 y=f(x) （除端点外）在每点都有切线的弧上，至少存在一点，在该点曲线的切线平行于联结弧的两端点的弦。 ξ x y A A’ B B’ o a b M Lagrange中值定理，它是利用导数的局部性 研究函数整体性的重要工具，它是沟通函数 与其导数之间的桥梁。是微积分学中一个重 要定理。 推论1 如果函数的导数在某一区间 (a,b) 内恒等于零，则函数在