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圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时?、 、及相交弦长的简便算法。定理简介
在将圆锥曲线方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在,但其一般化的推导结果不具有普适性,且一直无法用一个简洁的形式表示. 由CGY(2010)以椭圆曲线推导,重新排列分组形式,并引入ε,从而得出了较为简洁的表示形式.后再由CGY成功引入弦长计算公式,并将适用范围扩大到对y值求解与对的求解,从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性.2/定理内容
若曲线
与直线A+By+C=0相交于E、F两点,则:
?为一与?同号的值.
3/定理说明应用该定理于椭圆 时应将 代入应用于双曲线 时应将 代入同时即ε不为零.求解与 只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与
?的值不会因此而改变.
定理简证
设曲线……①
直线 …………②
相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：
应用韦达定理，可得:
1.对于等价的一元二次方程?的数值不唯一,且 ?的意义仅在于其与零的关系,由4B^20恒成立,则可取与?同号的?=mn(ε-C^2)作为?的值.
可得
令 则得到CGY-EH定理:
5/可行性应用
椭圆x^2/4+y^2/3=1与直线y=x+1相交于E、F两点,求解相交弦|EF|,x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2.
⑴列表:
A B C m n ε ? 1 -1 1 4 3 7 72 ⑵求解:
x1+x2 x1*x2 |EF| 互换表中A与B的值,m与n的值:
A B m n -1 1 32 4 求解:
y1+y2 y1*y 双曲线x^2/3-y^2/4=1与直线y=x+2相交于E、F两点,求解相交弦|EF| ，x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2.
⑴列表:
A B C m n ε ? 1 -1 2 3 -4 -1 60 ⑵求解:
x1+x2 x1*2 |EF| 12 -24 互换表中A与B的值,m与n的值:
A B m n -1 1 -4 3 求解:
y1+2 y1*y2 16 4
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