圆锥曲线的光学性质及其应用.doc

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圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用 尹建堂 ? 一、圆锥曲线的光学性质 圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质,因而为正确理解与掌握其光学性质,就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。 设P()为圆锥曲线(A、B、C不同时为零)上一定点,则在该点处的切线方程为:?。(该方程与已知曲线方程本身相比,得到的规律就是通常所说的“替换法则”,可直接用此法则写出切线方程)。 该方程的推导,原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率,进而用点斜式写出切线方程,则在点P处的法线方程为?。 1、抛物线的切线、法线性质 ??经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中。 ??事实上,设为抛物线上一点,则切线MT的方程可由替换法则,得,即,斜率为,于是得在点M处的法线方程为 ?? ??令,得法线与x轴的交点N的坐标为, ??所以 ??又焦半径 ??所以,从而得即 当点M与顶点O重合时,法线为x轴,结论仍成立。 所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。 也可以利用点M处的切线方程求出,则,又故,从而得 也可以利用到角公式来证明 抛物线的这个性质的光学意义是:“从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴”。 ? 2、椭圆的切线、法线性质 ??经过椭圆上一点的法线,平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中 ??证明也不难,分别求出,然后用到角公式即可获证。 ??椭圆的这个性质的光学意义是:“从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。 3、双曲线的切线、法线性质 ??经过双曲线上一点的切线,平分这一点的两条焦点半径的夹角,如图3中。仍可利用到角公式获证。 ????这个性质的光学意义是:“从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线是散开的,它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。 ? 二、圆锥曲线光学性质的应用 光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用。 ????应用圆锥曲线光学性质解题,特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式的应用,即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”。如图4,MN切曲线C于点P,则∠APM=∠BPN。这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等角的余角相等来证明的。 例1??求证:椭圆和双曲线在交点处的切线互相垂直。 ??分析:如图5,用圆锥曲线光学性质证明∠1+∠3=90°即可。 ??证明:如图5,两曲线的公共焦点,设P为两曲线的一个交点,PQ、PR分别为椭圆、双曲线的切线,连,并延长,由椭圆光学性质,推得∠1=∠2;由双曲线光学性质,得∠3=∠4。 ??又∠2=∠5,∠4=∠6(对顶角相等), ??所以∠1=∠5,∠3=∠6(等量代换)。 ??又∠1+∠3+∠5+∠6=180°, ??所以∠1+∠3=90°,即PQ⊥PR,命题得证。 ??评注:(1)本题也可采用代数运算证出的方法来证明,但比较复杂。这里采用光学性质证明法则直观简捷。(2)由本题得到一个一般性命题:焦点相同的一个椭圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直,于是有定义:两圆锥曲线在交点处的两条切线互相垂直,叫做这两曲直交。 ? 例2??如图6,已知是椭圆的焦点,分别是在椭圆任一切线CD上的射影。(1)求证:为定值;(2)求的轨迹方程。 分析:(1)欲证为定值,即证为定值(由光学性质推得),从而知应用余弦定理于即可获证。)(2)求出分别为定值即知其轨迹,易得轨迹方程。 证明:(1)设Q为切线,由椭圆光学性质推知设为,则 所以 又,则在中, 则 所以为常数,即定值。 (2)设点O在CD上的射影为M,则OM是直角梯形的中位线,于是有。 在中, 同理 所以的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆,其方程为 ? 例3??设抛物线的焦点为F,以F与A(4,4)为焦点作椭圆,使其与已知抛物线有公共点(如图7),当长轴最短时,求椭圆方程。 ??分析:求解的关键是光线FP的反射线PA平行于x轴。 ??解:设以点A(4,4)、F(4,0)为焦点的椭圆为(a为长半轴长)。① ??再设P?为抛物线与椭圆的公共点, ??由椭圆第一定义知: ???????????② ??即长轴长2a等于抛物线上一点P到两定点A、F距离之和,若2a最小,当且仅当椭圆与抛物线相切。此时,由圆锥曲线的光学性质知,光线FP的反射线PA平行于x轴。 ??所以P(1,4)。由②知 ??所以所求的椭圆方程为 ? 例4??如图8,已知探照灯的轴截面是抛物线,平行于对称轴的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为P、Q,设点P的纵坐标为,当a为何值时,从入射点P到反射点Q的路程P

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