圆锥曲线典型例题.doc

1. 定义法研究圆锥曲线问题 （一） 椭圆问题 1. 已知椭圆方程为，是其左右焦点，是椭圆上异于的任意一点，若已知， 的面积为__________ 双曲线中类似结论： 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆 ()的左、右焦点，B，C分别为椭圆的 上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为. 若 ，则直线的斜率为 椭圆的第三定义 3. 圆锥曲线中一类面积问题的探究 1. （2013年苏锡常镇四市高三二模）如图设,分别为椭圆的右顶点和上顶点，过原点作直线交线段于点（异于点，），交椭圆于，两点（点在第一象限内），和的面积分别为与． （1）若是线段的中点，直线的方程为，求椭圆的离心率； （2）当点在线段上运动时，求的最大值． 解：（1）； （2）设,（） 令 1：三角换元：)， 当且仅当时（此时时等号成立），可取得最大值 2：基本不等式的应用：,同理可得结果 命题深度背景探源： 椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行； 且在该交点处，此时,都是最大的。 练习1： 练习2： （2011年湖南高考理科试题）如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于C1的长半轴长 （Ⅰ）求C1，C2的方程； （Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E． （i）证明：MD⊥ME; （ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得？请说明理由 （Ⅰ）由题意知 故C1，C2的方程分别为 （Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为. 由得. 设是上述方程的两个实根，于是 又点M的坐标为（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME. （ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得 ，则点A的坐标为.又直线MB的斜率为， 同理可得点B的坐标为 于是 由得 解得，则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为 于是.因此 由题意知， 又由点A、B的坐标可知， 故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为 练习3：如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点． （Ⅰ）若点的横坐标为，求直线的斜率； （Ⅱ）记△的面积为，△（为原点）的面 积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由． （1） （2）不存在，计算可得 练习4：（2013年徐州、宿迁高三三模数学）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆： 的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的 半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点． （1）求直线的方程；（2）求的值； （1）连结，则，且，又，所以. 所以，所以直线的方程为. ⑵由⑴知，直线的方程为，的方程为，解得. 因为，即，所以，，故椭圆的方程为. 由解得，所以． ⑶不妨设的方程为， 联立方程组解得，所以； 用代替上面的，得．同理可得，，． 所以．因为 ， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为 已知点P为椭圆上的动点，F1为椭圆的左焦点，定点M（6，4），则PM+PF1的最大值为 ． 15 类型化的最值 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：过点A，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设点B是点A关于原点O的对称点，P是椭圆C上的动点（不同于A，B），直线AP，BP分别与直线交于点M，N，问：是否存在点P使得和的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）由题意得 ………………… 2分 解得． ………………… 4分 ∴椭圆C的方程为． ………………… 5分 （Ⅱ）如图，B点坐标为，假设存在这样的点P ， 则直线AP的方程为，（北京卷高考题） 10. 如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）． （1）求椭圆的方程； （2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值． 中，椭圆E:的右准线为直线l，动直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且． （1）求椭圆E的标准方程； （2）如果OP是OM，OQ的等比中项， 那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由． 解：当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则 ，，． ∵，∴由O，M，Q三点共线，得，化简，得．………2分，∴，化简，得． 由 解得